Question

lim (n->infinit) (1/e + 1/e^2 + .... + 1/e^n) = ?

Answer 1

Salut,

Suma din enunț este a unei progresii geometrice, cu n termeni primul termen este 1/e și rația este tot 1/e.

Formula pentru o astfel de sumă este (rația 1/e este subunitară):

$S_n=b_1\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q}.$

Unde n este numărul de termeni ai progresiei geometrice, b₁ = 1/e este primul termen al progresiei și q = 1/e este rația.

$S_n=\dfrac{1}e\cdot\dfrac{1-\left(\dfrac{1}e\right)^n}{1-\dfrac{1}e}=\dfrac{1}e\cdot\dfrac{1-\left(\dfrac{1}e\right)^n}{\dfrac{e-1}e}=\\\\\\=\dfrac{1}e\cdot\dfrac{e}{e-1}\cdot\left[1-\left(\dfrac{1}e\right)^n\right]=\dfrac{1}{e-1}\cdot\left[1-\left(\dfrac{1}e\right)^n\right]$.

Paranteza dreaptă tinde la 1, pentru că 0 < 1/e < 1, deci (1/e)ⁿ tinde la 0.

Deci limita este:

$\dfrac{1}{e-1}.$

Ai înțeles rezolvarea ?

Green eyes.