Question

Lim x tinde spre minus infinit din x/(e^x-x)

Answer 1

$\lim_{x\to -\infty} \frac{x}{e^{x} - x} = \frac{- \infty}{-\infty}$

De aici vedem că avem una dintre formele indeterminate, rezultă că putem folosi regula lui L'Hopital: $\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)}$

$\lim_{x\to -\infty} \frac{x}{e^{x} - x} = \lim_{x\to -\infty}\frac{\frac{d}{dx}(x)}{\frac{d}{dx}(e^{x} - x)} = \lim_{x\to -\infty} \frac{1}{e^{x} - 1}$

Substituim $x \to -x \implies (x \to -\infty) \to (x \to \infty)$

$\lim_{x\to \infty} \frac{1}{e^{-x} - 1} = \lim_{x\to \infty} \frac{1}{\frac{1}{e^{x}} - 1} = \frac{1}{ 0 - 1} = \boxed{-1}$