Matematică, întrebare adresată de alexandrapavel, 9 ani în urmă

\lim_{x \to \0} x_0 ( \frac{1}{sin^{2} x} + \frac{1}{x})

alexandrapavel: deci este limita cand x tinde la 0 din (1 supra sin patrat de x - 1 supra x )

faravasile: Trebuie sa aplici de trei ori regula lui l'Hospital si obtii limita egala cu 1/6

faravasile: Atentie la derivari!

alexandrapavel: multumesc! am aplicat-o de 3 ori dar eu am obtinut 1/3

faravasile: Stai sa vezi ce amuzant! Am gresit din start, ca nu m-am uitat ca lumea la enuntul pe care l-ai scris mai jos!

faravasile: Daca enuntul este cum a scris "pisicuta" mai jos, este gresit, sau pur si simplu spunem ca limita nu exista! 1/0 este + sau - infinit (limitele laterale!) Scria cumva in enunt ca x>0 sau x<0?

miaumiau: limita este +infinit, indiferent dacă x<0 sau x>0

faravasile: Da, este, dar din rezolvarea ta nu reiese aceasta!

miaumiau: ee, important e să reiasă ideea princială. părerea mea :)

faravasile: Am scris mai jos o rezolvare care evita regula lui l'Hospital.

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de miaumiau

$\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{\sin ^2 x}-\frac{1}{x}\right)=$

Aducem la numitor comun. Limita este (renunț să mai scriu ”lim”):

$=\frac{x-\sin ^2 x}{x\sin^2 x}=$ cazul "0/0"

$=\frac{(x-\sin ^2 x)'}{(x\sin^2 x)'}=\frac{1-2\sin x\cos x}{\sin ^2 x +x\cdot 2\sin x \cos x}\to\frac{1}{0}\to\infty$

Răspuns de faravasile

Fractia data, simplificata cu x² este:

$\dfrac{x-sin^2x}{x\ sin^2x}=\dfrac{\dfrac1x-\left(\dfrac{sinx}{x}\right)^2}{x\left(\dfrac{sinx}{x}\right)^2}$

Trecand la limita, si tinand cont de limita cunoscuta $\lim_{x \to 0} \dfrac{sinx}{x}=1$

obtinem ca limita ceruta este egala cu limita din $\dfrac{1-x}{x^2}$ , care este egala cu $+\infty$ .