Question

Linia mijlocie a trapezului ABCD este egala cu 10 cm si imparte aria trapezului in raportul 3:5.Determinati lungimile bazelor trapezului.

Answer 1

rap = 3:5=> A[ABNM]/A[DCNM]=5/3

L. mijl.= AB+DC/2=10 => AB+DC=20

Construim înălțimea AY pe CD, deci AY_|_CD și Y apartine CD.

Notăm intersecția lui AY cu MN cu X și cum MN||CD, atunci AY_|_MN, deci AX_|_MN.

A[ABNM]=(AB+MN)•AX/2

A[DCNM]=A[ABCD]-A[ABNM]=

=(AB+CD)•AY/2-(AB+MN)•AX/2=

=(AB+CD)•AY-(AB+MN)•AX/2

=(AB+CD)•2AX-(AB+MN)•AX/2

Cum AY este linie mijlocie => AX=XY=AY/2

A[ABNM]/A[DCNM]=5/3

Cum ambele arii au în componența formulei numitorul 2, atunci îl putem reduce și vom scrie direct:

(AB+MN)•AX/(AB+CD)•2AX-(AB+MN)•AX=5/3 <=>

<=> (AB+CD)•2AX-(AB+MN)•AX/(AB+MN)•AX=3/5

(AB+CD)•2AX/(AB+MN)•AX-(AB+MM)•AX/(AB+MM)•AX=3/5

2(AB+CD)/AB+MN-1=3/5 |+1

2(AB+CD)/AB+MN=8/5 |:2

AB+CD/AB+MN=8/10

AB+CD=20

AB+MN=AB+10

20/AB+10=8/10

20•10=8•(AB+10)

200=8AB+80 |-80

120=8AB|:8

AB=15 (cm)

AB+DC=20 cm

AB=15 cm

DC=20cm-15cm=5 cm