Question

log in baza x-1 din (x la puterea a 2 a-5x+7) =1

Answer 1

Avem următoarele condiții de existență a logaritmului: 
x-1>0=> x>1
și
x-1 ≠ 1=> x≠2
Din cele 2 rezultă că x ∈ (2, +∞)

Scriem pe 1 în funcție de log astefel am ajuns la logₓ₋₁(x-1)=1

logₓ₋₁(x²-5x+7)= logₓ₋₁(x-1)
Luăm cele 2 ecuații
x²-5x+7= x-1
x²-5x+7-x+1=0
x²-6x+8=0

Facem Delta 
Δ=(-6)² - 4.1.8
Δ= 36-32
Δ=4
x₁=$\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4
x₂=$\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2 (Nu convine, nu aparține domeniului de definiție)

Verificare
log₃(9-15+7)=1
log₃1=1
1=1(A) 

Answer 2

$\displaystyle \mathtt{ log_{x-1}\left(x^2-5x+7\right)=1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ C.E. \left\{\begin{array}{ccc}\mathtt{x-1\ \textgreater \ 0}\\\mathtt{x^2-5x+7\ \textgreater \ 0}\\\mathtt{x-1 \not = 1}\end{array}\right} \\ \\ \mathtt{log_{x-1}\left(x^2-5x+7\right)=log_{x-1}(x-1)}\\ \\ \mathtt{x^2-5x+7=x-1 }\\ \\ \mathtt{x^2-5x+7-x+1=0 }\\ \\ \mathtt{x^2-6x+8=0}\\ \\ \mathtt{a=1,~b=-6,~c=8}\\ \\ \mathtt{\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4 \cdot 1 \cdot 8=36-32=4\ \textgreater \ 0}$
$\displaystyle \mathtt{x_1= \frac{-b+ \sqrt{\Delta} }{2a} = \frac{-(-6)+ \sqrt{4} }{2 \cdot 1} = \frac{6+ 2 }{2} = \frac{8}{2}=4 }\\ \\ \mathtt{x_2= \frac{-b- \sqrt{\Delta} }{2a}= \frac{-(-6) -\sqrt{4} }{2 \cdot 1} = \frac{6-2}{2}= \frac{4}{2} =2 }\\ \\ \mathtt{x_1=4 \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc}\mathtt{4-1\ \textgreater \ 0~A}\\\mathtt{4^2-5 \cdot 4+7\ \textgreater \ 0~A}\\\mathtt{4-1 \not = 1~A}\end{array}\right \Rightarrow x_1=4~este~solutie~a~ecuatiei}$
$\displaystyle \mathtt{x_2= 2 \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc}\mathtt{2-1\ \textgreater \ 0~A}\\\mathtt{2^2-5 \cdot 2+7\ \textgreater \ 0~A}\\\mathtt{2-1 \not = 1 ~F}\end{array}\right \Rightarrow x_2=2~nu~este~solutie~a~ecuatiei} \\ \\ \mathtt{S=\{4\}}$