Question

log₃ (x²+1)≥log₉(x). Cum il aflu pe x? x∈/R?

Answer 1

.............................................

Answer 2

Domeniul de existență este  $\it \mathbb{R}_{+}$

$\it log_9x= \dfrac{ log_3 x}{ log_3 9} =\dfrac{log_3 x}{2}$

Inecuația devine :

[tex]\it log_3(x^2+1) \geq\dfrac{log_3x}{2} \Longleftrightarrow 2log_3(x^2+1) \geq log_3x \Longleftrightarrow \\\;\\ \\\;\\ \Longleftrightarrow log_3(x^2+1)^2 \geq log_3x \Longleftrightarrow (x^2+1)^2\geq x \Longleftrightarrow \\\;\\ \\\;\\ \Leftrightarrow x^4 +2x^2+1-x \geq0 \Leftrightarrow (x^4+x^2+\dfrac{1}{4}) + (x^2-x+\dfrac{1}{4}) +\dfrac{1}{2} \geq0[/tex]

$\it \Longleftrightarrow \left(x^2+\dfrac{1}{2} \right)^2+\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2 +\dfrac{1}{2} \geq0 \ \ (*)$

Relația (*) este adevărată pentru orice x din  $\it \mathbb{R}_{+}$, 

prin urmare,  mulțimea soluțiilor inecuației din enunț este

$\it S = \mathbb{R}_{+}$