log4(3^x+1)=log4(-2^x+14)
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
2
Explicație pas cu pas:
Incepem prin a pune condițiile de existență îndeplinite simultan.
1) 3^x+1>0 adică 3^x>-1 (adevărat pentru orice număr real x pentru că funcția exponențiala ia doar valori pozitive)
2) -2^x+14>0 (nu rezolvam aceasta condiție, vom verifica la final daca soluțiile obținute, satisfac sau nu ecuația de plecare).
log in baza 4 din (3^x+1)=log in baza 4 din (-2^x+14)
Funcția logaritm este injectiva și avem:
3^x+1=-2^x+14
3^x+2^x=14-1
3^x+2^x=13
Observam că soluția ecuației este x=2 pentru că 9+4=13 este singura varianta pentru care obținem rezultatul dorit.
Dovedim că este soluție unică.
Presupunem prin reducere la absurd că mai există un y diferit de x, y soluție a ecuației.
Deci 2^y+3^y=13. Dar cum x este soluție, avem 2^x+3^x=13. Daca a=b și b=c, atunci din tranzitivitatea relației de egalitate, avem a=c. In cazul de față a=2^x+3^x, b=13 și c=2^y+3^y.
Deci:
2^x+3^x=2^y+3^y
Din faptul că funcția exponențiala este injectiva și compunere a doua funcții injective este tot o funcție injectiva, obținem că x=y.
Dar noi am presupus că x este diferit de y. Deci presupunerea este falsă.
Așadar, x=2 este soluție unică.
Rămâne doar sa verificăm acest rezultat în ecuația de la care am plecat.
log in baza 4 din (3^2+1)=log in baza 4 din (-2^2+14)
log in baza 4 din 10=log in baza 4 din 10
Deci, este clar că x=2 este soluție a ecuației.
Răspuns:
Explicație pas cu pas:
C.E.
14-2^x>0
14>2^x
2^x<14
x<log in baz 2 din14, x∈(-∞; log in baz 2 din 14)
Rezolvare
3^x+1=-2^x+14
3^x+2^x=13
- 3^x+2^x (unde 3>1 si2>1)suma de functii crescatoare, crescatoare, deci injectiva, pe R deci si pe dom de definitie (-∞; loginbza 2 din14)
deci 3^x+2^x va lua valoare 13, daca o va lua, o singura data
se "observa" ca x=2, unde 2<3=login baz 2din8 <log in baz 2din 14, deci apartinand domeniului de definitie, verifica ecuatia
intr-adevar
3²+2²=13
9+4=13
13=13 adevarat
cum functia este injectiva, x=2 este solutie unica