Question

Logaritm cu baza 3x din 9 + logaritm cu baza 3 din x >=1
x=?

Answer 1

log_(3x) din 9 + log_(3) din x >=1   ;conditii de existenta: x>0 si 3x diferit de 1
<=> 2*(log_(3x) din 3)+ log_(3) din (3x) >=2.
<=> 2/t+t>=2, unde t=log_(3) din (3x)   ...(*)

Daca t>=0 ( <=> log_(3) din (3x) >=0 <=> 3x>=1 <=> x>=1/3):
   Atunci (*) <=> 2+t^2>=2t <=> t^2-2t+2>=0 <=> (t-1)^2+1>=0, adevarat!

Daca t<0( <=> log_(3) din (3x) <0 <=> 3x<1 <=> x<1/3):
   Atunci (*) <=> 2+t^2<=2t <=> t^2-2t+2<=0 <=> (t-1)^2+1<=0, fals!

Deducem astfel ca t>=0, adica x>=1/3.
Avand in vedere si conditia 3x diferit de 1, adica x diferit de 1/3, obtinem ca x apartine (1/3,+inf).