Question

Lucrez dintr-o culegere pentru admitere la facultatea de politehnica Timisoara. Nu reusesc sa rezolv acest exercitiu.

Answer 1

Salut,

Îți propun o soluția care este foarte puțin utilizată la ora actuală, dar care oferă un avantaj foarte mare: poți vedea soluțiile și astfel poți înțelege mult mai bine rezolvarea. Mă refer la soluția grafică.

Cerința este de a afla pe m real, astfel încât ecuația |m -- 2x| -- |x + 3| + 1 = 0 să aibă o singură soluție.

Scriem ecuația așa:

|m -- 2x| = |x + 3| -- 1 (1)

Din relația (1) avem că membrul stâng este ≥ 0 (pentru că este modul), deci și membrul drept trebuie să fie tot așa: |x + 3| -- 1 ≥ 0, adică |x + 3| ≥ 1, rezultă că x + 3 ≥ 1, sau x + 3 ≤ --1, adică x ≥ --2 sau x ≤ --4, deci x ∈ (--∞, --4] U [--2, +∞) (2).

Notăm cu f(x) = |x + 3| -- 1 și observăm că această funcție nu conține parametrul m.

Apoi notăm cu g(x) = |m – 2x|, această funcție, depinde și de parametrul m, deci este vorba de fapt despre o infinitate de funcții, despre o familie de funcții.

Avem deci de aflat acele valori reale ale lui m pentru care graficul funcției f(x) și cel al funcției g(x) au un singur punct în comun.

Începem cu funcția f(x) = |x + 3| -- 1, vrem să-i obținem graficul.

Știm de la teorie că modulul unui număr real ia numai valori mai mari, sau egale cu zero, deci:

|x + 3| ≥ 0, deci |x + 3| -- 1 ≥  -- 1, deci valoarea minimă a lui f(x) este --1.

Tot de la teorie știm că graficul unei funcții de gradul I (forma generală este h(x) = ax+b, cu a ≠ 0) este o dreaptă, care se întinde chiar și sub axa OX (deci ia și valori negative), pentru că funcția de gradul I ia valori de la minus infinit, la plus infinit (deci pe întreaga mulțime R a numerelor reale).

Pornind de la aceste informații, graficul funcției | h(x) | = | ax + b | are forma literei V (V mare), “vârful” lui V se află chiar pe axa OX și corespunde valorii nule a funcției modul.

Un exemplu se află în figurile 1 și 2, cu linie albastră este reprezentată funcția de gradul I h(x) = 4x -- 4 și cu linie roșie este reprezentată funcția modul |h(x)| = |4x -- 4|, vezi poza de mai jos.  

Spre deosebire de exemplul din figurile 1 și 2, funcția f(x) îl conține pe –1, după modul. Asta înseamnă că pentru a obține graficul funcției f(x) desenăm graficul funcției |x + 3|, pe care apoi îl “coborâm” pe axa OY cu o unitate (acel –1). Graficul se poate vedea în figura 3, vezi poza de mai jos.

Să vedem graficele funcției g(x) = |m – 2x|.

Cum m aparține mulțimii R a numerelor reale, vom avea deci o infinitate de grafice, toate au forma literei V, iar valoarea minimă este întotdeauna 0. Cu alte cuvinte, familia de grafice g(x) este de fapt formată de o infinitate de litere V, toate se „sprijină” pe întreaga axă OX, de la minus infinit, la plus infinit.

Cu cât m ia o valoare mai mică, graficul lui g(x) se află spre stânga, departe de axa verticală OY. Cu cât m crește de la o valoare negativă spre o valoare pozitivă, graficul lui g(x) “se mută” din ce în ce mai aproape de axa verticală OY și dincolo de ea. Pentru valori foarte mari ale lui m, graficul lui g(x) se îndepărtează de axa verticală OY, înspre partea dreaptă a axei OY.

Am stabilit mai sus (vezi relația (2)) că x ∈ (--∞, --4] U [--2, +∞).

Împărțim această reuniune de intervale în 4 cazuri:

Cazul 1 din 4: x ∈ (--∞, --4), fără valoarea --4 (minus 4): din figura 4, se observă că intersecția dintre graficul f(x) și graficele familiei de funcții g(x) este întotdeauna formată din 2 puncte, deci pentru x ∈ (--∞, --4) nu avem doar un punct de intersecție, deci pentru x ∈ (--∞, --4), nu avem soluții pentru m;

Cazul 2 din 4: x = --4: din figura 5, se observă că intersecția dintre graficul f(x) și graficul funcției g(x) este un singur punct, exact ce avem nevoie. În relația (1) scriem x = --4:

|m + 8| = |--4 + 3| -- 1, sau |m + 8| = 0, deci m + 8 = 0, deci m = --8, care este soluție;

Cazul 3 din 4: x = --2: din figura 6, se observă că intersecția dintre graficul f(x) și graficul funcției g(x) este un singur punct, exact ce avem nevoie. În relația (1) scriem x = --2:

|m + 4| = |--2 + 3| -- 1, sau |m + 4| = 0, deci m + 4 = 0, deci m = --4, care este soluție;

Cazul 4 din 4: x ∈ (--2, +∞), fără valoarea --2 (minus 2): din figura 7, se observă că intersecția dintre graficul f(x) și graficele familiei de funcții g(x) este întotdeauna formată din 2 puncte, deci pentru x ∈ (--2, +∞) nu avem doar un punct de intersecție, deci pentru x ∈ (--2, +∞), nu avem soluții pentru m.

În concluzie, m1 = --8 și m2 = --4, deci soluția corectă este punctul a).

Green eyes.