Question

lungimile catetelor unui triunghi dreptunghic se raporta ca 3:4,iar lungimea ipotenuzei este de 50 cm.Sa sse determine aria triunghiului

Answer 1

Răspuns:

Aria triunghiului este de 1200 centimetri pătrați.

Rezolvare:

Fie ΔABC, m (∡BAC) = 90°

[AB] = a, [AC] = b, [BC] = c

$\displaystyle{\frac{a}{b}=\frac{3}{4}}$

⇒ a × 4 = b × 3

⇒ $\displaystyle{a=\frac{3b}{4}}$

m (∡BAC) = 90° ⇒ a² + b² = c²

$\displaystyle{(\frac{3b}{4})^{2}+b^{2}=50^{2}}$

$\displaystyle{\frac{9b^{2}}{16}+b^{2}=2500}$

9b² + 16b² = 2500 × 16

b² × (9 + 16) = 40.000

25b² = 40.000

b² = 40.000 ÷ 25

b² = 1600

b = $\sqrt{1600}$

$\boxed{b=40cm}$

$\displaystyle{a=\frac{3\times 40}{4}}$

$\displaystyle{a=\frac{120}{4}}$

$\boxed{a=30 cm}$

ΔABC, m (∡BAC) = 90° ⇒ Aria ΔABC = [AB] × [AC] = a × b

Aria = 30 × 40 cm²

$\boxed{Aria = 1200 cm ^{2}}$

Explicație:

• Am notat triunghiul cu ABC și am considerat că unghiul A este cel drept, prin urmare [AB] și [AC] vor fi catetele iar [BC] va fi ipotenuza.
• Am notat pe [AB] cu a, [AC] cu b și [BC] cu c, ca să îmi vină mai ușor la calcule.
• Cunosc raportul dintre a și b, așa că am înmulțit pe diagonală (mezii cu extremii) apoi am scris pe a în funcție de b.
• Întrucât triunghiul este dreptunghic, am folosit Teorema lui Pitagora - Într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei.
• L-am înlocuit pe a cu 3b supra 4 în sumă.
• Am ridicat la pătrat fracția, folosindu-mă de formula ($\frac{a}{b}$)² = $\frac{a^{2}}{b^{2}}$
• Am înmulțit tot rândul cu 16, ca să scap de fracție.
• Am dat factor comun pe b² și am aflat valoarea lui b.
• Am aflat apoi valoarea catetei a din raportul dat de problemă.
• Am calculat aria triunghiului, folosindu-mă de formula că aria unui triunghi dreptunghic este egală cu produsul dintre cele două catete.

- Lumberjack25