Question

M=[2;3] , x compus cu y= xy-2x-2y+6, aratati ca M e parte stabila in raport cu legea specificata ?

Answer 1

sa ne amintim :
 o multime Meste parte stabial in raport cu o lege de compozxitie⇔legea de compozitie estelege fde compozitie  interna pe multimea M⇔oricare x, y∈M, xcompusy∈M ⇔compunand oiricare 2 elemente ale multimii rezultatul compunerii va da tot un element al multimii

(exemplu adunarea numerelor naturale este o lege de compozitie interna pe N; scaderea nu este)

pentru a verifica cerinta ,este util sa exprima legea de compozitie in alta forma
 si anume
( x compus y)=(x-2)(y-2)+2
verificare
xy-2x-2y+4+2=xy-2x-2y+6 ,
 adevarat ∀(x, y)∈R deci si pentru ∈[2;3]⊂R

x-2 functie de grad 1, injectiva, crescatoare
deci pt x∈[2,3], x-2∈[2-2;3-2]=[0;1]
cu acelasi rationament y-2∈[0;1]
 produsul intre 2 functii crescatoare este crescator
deci (x-2)(y-2)∈[0* 0, 1* 1]=[0;1]
daca la aceast functie crescatoare adaugam functia constanta 2,  valorile pe care le va lua sumna (x-2) (y-2)+2 vor fi in intervalul [0+2, 1+2]=[2;3]
 
deci ∀(x, y)∈[2;3], atunci (x compus y )∈[2,3], deci  M=[2;3] este  parte stabila in  raport cu legea de compozitie specificata, cerinta.