Question

Ma ajuta cineva cu problema 22?

Answer 1

a) Din PC || AB taiate de secanta BP, rezulta ca:
m(<ABQ)=m(<BPC)  (alterne interne)
De asemenea, m(<BAQ)=m(<BCP) ca unghiuri opuse in paralelogram (au laturile respectiv paralele), iar
din BC || AQ taiate de secanta BQ avem:
m(<CBQ)=m(<BQA)  (alterne interne)

Deci trunghiul ABQ asemenea cu triunghiul BPC (U.U.U.), deci:

$\frac{BC}{AQ} = \frac{BP}{BQ}$

b) Cerinta se mai scrie:

$\frac{BM}{BP} = \frac{MQ}{BQ}$

Din AB || PC avem unghiurile alterne interne congruente, deci:
m(<BPC)=m(<PBA), si
m(<ACP)=m(<CAB), iar
M(<PMC)=m(<AMB)  (ca unghiuri opuse la varf), deci
triunghiul BMA asemenea cu triunghiul PMC (U.U.U.), deci

$\frac{BM}{MP} = \frac{AM}{MC}$ si folosind proprietatile rapoartelor egale rezulta ca:

$\frac{BM}{BM+MP} = \frac{AM}{AM+MC}$, adica:

$\frac{BM}{BP} = \frac{AM}{AC}$  (rel 1)

Din AQ || BC avem unghiurile alterne interne congruente, deci:
m(<BCM)=m(<MAQ), si
m(<CBM)=m(<MQA), iar
M(<BMC)=m(<AMQ)  (ca unghiuri opuse la varf), deci
triunghiul BMC asemenea cu triunghiul QMA (U.U.U.), deci

$\frac{MQ}{MB} = \frac{AM}{MC}$ si folosind proprietatile rapoartelor egale rezulta ca:

$\frac{MQ}{BM+MQ} = \frac{AM}{AM+MC}$, adica:

$\frac{MQ}{BQ} = \frac{AM}{AC}$  (rel 2)

Din (rel 1) si (rel 2) rezulta ca:

$\frac{BM}{BP} = \frac{AM}{AC} = \frac{MQ}{BQ}$, adica


$\frac{BM}{BP} = \frac{MQ}{BQ}$

(q.e.d.)