Question

Ma ajutati va rog la urm. exercitii? :
1) f:R->R , f(x) = $e^{x}$- x - 1 , a)derivata functiei , b) intervalele de monotonie
2)f:(0,∞)-> R , f(x)=x-lnx , a) derivata functiei , b) pct. de extrem , c) $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x}{x}$

Answer 1

1)a)f derivat (x) =$e^{x}$ -1
   b)f derivat (x)=0⇒$e^{x}$-1=0⇒$e^{x}$=1⇒x=0
x                | -∞              0               +∞
______________________________________
f derivat (x)  |-------------------0++++++++++++
______________________________________    ⇒f strict descrescataoare pe 
f(x)             | scade                 creste                   (-∞,0] si strict  crescatoare pe 
                                                                            [0,+∞)
2) a)f derivat (x)=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$
f derivat (x)=0⇒x-1=0⇒x=1
x                |0              1                  +∞           f(1)=1-ln1=1-0=1
__________|_______________________ 
f derivat (x)  |----------------0++++++++++
__________|_______________________
f(x)             |   scade     1   creste

        c)$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x}{x}= \lim_{x \to \infty} \frac{x-lnx-x}{x}= \lim_{x \to \infty} \frac{-lnx}{x}= \lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x}=0$