Matematică, întrebare adresată de flashppp, 9 ani în urmă

Ma chinui de o saptamana la problema asta...idei?

Anexe:

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de Utilizator anonim

AB, BC, AC sunt în progresie aritmetică, deci latura cea mai mare (ipotenuza) este AC.

Desenăm trriunghiul ABC, dreptunghic în B.

Lungimile laturilor fiind în progresie aritmetică, se poate scrie:

BC = x, AB = x-r, AC = x+r, unde r este rația.

Deoarece perimetrul este 18, vom avea:

x-r + x + x+r = 18 ⇒ 3x = 18 ⇒ x = 6

Acum se poate scrie AB = 6 - r, BC = 6, AC = 6+r

Triunghiul fiind dreptunghic, se poate aplica teorema lui Pitagora:

(6 +r)² - (6-r)² = 6² ⇒(6+r-6+r)(6+r+6-r) = 36 ⇒ 2r·12 =36 ⇒ r = 3/2

Prin urmare, AB = (9/2), BC = 6, AC = (15/2)

Aria(BAC) =(1/2) ·(BA · BC)= (1/2) (9/2)·6 = 27/2

Ducem mediana AM, cu M pe BC.

Aria(BAM) = (1/2)·Aria(BAC) =(1/2)·(27/2) = 27/4

Dacă G este centrul de greutate al triunghiului ABC, atunci G∈ AM și

GM = (1/3)AM ⇒ Aria(BGM) =(1/3)· Aria(BAM) = (1/3)·(27/4) = 9/4

Utilizator anonim: trei numere sunt în progresie aritmetică dacă diferența dintre oricare două este constantă (rația progresiei)

Utilizator anonim: aici am folosit o notație convenabilă, pentru a elimina rația

Utilizator anonim: calcule sunt mai puține

Utilizator anonim: evident că este necesară și teorema lui Pitagora, pe foaia mea de hârtie calculasem r, dar ...mi-a scăpat, afară plouă și fulgeră... am reeditat !

albatran: bravo...aici scriu multi...noi sau conturi noi...unii stiu materie, unii stiusa se inspire, unii nici una , nici alta..asa e mai bine, sa explici, plus ca ai avut ai ecuatie mai eleganta decat a mea...nu era pacat sa raman necunoscuta??

flashppp: M-am invatat minte,nu o sa mai postez probleme cu un asa mare punctaj pentru ca incepe lumea sa se certe :-“:-“:-“:-“

flashppp: multumesc amandurora !

albatran: pai din dispute (de inalta tinuta, ca a noastra) iese adevarul la iveala...

albatran: cu placere si EUmultumesc amandorura, ptca solutia lui gall este f eleganta

albatran: iriareu am pus accentul si pe partea geometrica(ce imi plae mai mult) si am tras si 2 linii

Răspuns de albatran

dac laturiler sunt in progresie aritmetica in aceasta ordine;
cateta mica=AB=x
cateta mare=BC=x+a
ipotenuza =CA=x+2a
atunci avem relatilile
x=x+a+x+2a=3x+3a=18
si
x²+ (x+a)²=(x+2a)²

adica x+a=6
x²+x²+2ax+a²=x²+4ax+4a²

x+a=6
x²-2ax-3a²=0

cu substitutia x=6-a,ecuatia a doua devine
a²-12a+36-2a(6-a)-3a²=0

a²-12a+36-12a+2a²-3a²=0
36-24a=0
3-2a=0
a=3/2
⇒x=6-3/2=9/2
x+a=6=12/2
x+2a=6+3/2=15/2
intr-adevar , numere pitagorice, ptca (9/2)²+(12/2)²=(15/2)²
sunt 3,4, 5 amplificate cu k=3/2
verificare si pt perimetru
9/2+12/2+15/2=36/2=18
ambele sunt adevarat,deci triunghiul initial este binerezolvat

asadar Arioa triunghiului ABC= (cateta 1* cateta 2)2=(9/2) *6/2=27/2

acum Arie triunghiul;ABM = 1/2 * arie tr ABC (ptca mediana imparte un tr in 2 tr.de ariiegale) = (1/2) *27/2=27/4

iar aria BGM = (1/3) *Arie ABM, ptca baza GM este 1/3 di baza AM, fata de inaltimea comuna din B
deci Arie BGN= (1/3) *27/4= 9/4 unitatide arie
raspuns corect a)

Anexe: