Question

Ma poate ajuta cineva cu acest exercitiu? Va rog frumos.
Determinati numarul functiilor f: {1,2,3,4}→{1,2,3,5,6} cu proprietatea :
a) f(1)=f(3) b)f(1) nu este = f(3) c)f(1)=2f(3)
Macar a),daca se poate cu explicatie

Answer 1

asa cu s-a precizat trebuie aflat numarul de functii cu domeniul D= {1,2,3,4} si codomeniul C={1,2,3,5,6}, care sa respecte cerintele. Analizam cazul de la punctul a:
ne ajuta metoda diagramei, in care putem vizualiza corespondentele x⇒f(x)
se impune f(1)=f(3)=1 sau2 sau3 sau 4 sau 5 sau6
ptr fiecare din variante vedem cate corespondente diferite pot fi stabilite intre celelalte elemente
deci ptr f(1)=f(3)=1

1⇒1 (1 varianta)
2⇒1,2,3,4,5 sau 6 (6 variante)
3⇒1    (1 varianta)
4⇒1,2,3,4, 5 sau 6  (6 variante)  Total 36 variante diferite ptr. f(1)=f(3)=1
Cum f(1)=f(3) are la randul sau tot 6 variante
Total=36*6=216 variante de a construi o functie f care sa indeplineasca  f(1)=f(3).
Reamintesc faptul ca o corespondenta de acest fel este o functie daca oricarui element din D ii corespunde un element din C, invers nefiind obligatoriu.Oricum functiile in care nr. elemente din C este mai mare decat cel din D nu vor fi surjective.

Answer 2

f: {1,2,3,4}→{1,2,3,5,6} sunt 5^4 functii
(sa ne amintim : multimea tuturoer functiilor definite pe o multime cu m elemente ce ia valori in o multime cu n elemente este n^m
sau mai simplu avem 4 pozitii pe care putem scrie independent 5 valori, deci 5*5*5*5)
punand conditia
(1)=f(3) practic aveam {1,2,4}→{1,2,3,5,6}  adica 5^3=125 functii


b) f(1)≠f(3)...hmmm...tap tap tap...gandesc..
.pai sunt toate functiile, mai putin cele in care f(1)=f(3) (numar calculat la punctul a)
adica 5^4-5^3=625-125=500 functii


c) f(1) =2f(3)

posibile doar variantele
1 2 3 4
2 a 1 b in care a si b pot lua cate 5 valori deci 5*5=25 functii


si

1 2 3 4
6 a 3 b  incare asi b pot lua cate 5 valori,deci 5*5=25 de functii
 total 25+25=50 functii