Matematică, întrebare adresată de nustiumate110, 8 ani în urmă

Ma poate ajuta cineva cu o integrala si o limita va rog?

Anexe:

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de Calina157

Asta e limita. Prima integrala nu stiu exact cum se face.

Anexe:

Calina157: Da

nustiumate110: ok, asta inseamna ca daca voi deriva forma integralei propusa de mine voi avea F'(b)-F'(a), nu?

nustiumate110: unde F'=f

Calina157: Da.

nustiumate110: pai si in integrala din exercitiu nu ar trebui sa ramana atunci F'(x)-F'(0), adica f(x)-f(0)? cand x tinde la 0

nustiumate110: asta e singurul lucru pe care nu il inteleg

Calina157: F'(0) este constanta. Constanta la derivare e 0, asadar ramane doar F'(x) care e f(x).

nustiumate110: ah, da. am inceput sa inteleg. La rezolvarea integralei F(0) va fi o constanta, iar cand se deriveaza ramane doar F'(x). Multumesc!

Calina157: Da.

Rayzen: l-am facut eu pe 11

Răspuns de Rayzen

(11)

$f(x) = e^{\sin^2 x} \\ \\ F(x) = \int_0^x f(t)\, dt \\ \\ \int\limits_{0}^{\pi/2}\cos 2x\cdot F(x) \, dx = \dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{\pi/2}(\sin2x)'\cdot F(x) \, dx = \\ \\ = \dfrac{\sin 2x\cdot F(x)}{2}\Big|_0^{\pi/2} - \dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{\pi/2} \sin 2x\cdot F'(x)\,dx = \\ \\ F'(x) = f(x) \\ \\= -\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{\pi/2}\sin 2x\cdot f(x)\, dx=$

$f'(x) = (\sin^2 x)'e^{\sin^2 x} = \sin 2x\cdot e^{\sin^2 x}= \sin 2x \cdot f(x)\\ \\\\ = -\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{\pi/2}\sin 2x\cdot f(x) \, dx = \\ \\ = -\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{\pi/2}f'(x)\, dx= \\ \\ = -\dfrac{f(x)}{2}\Big|_{0}^{\pi/2}= -\dfrac{e}{2}+\dfrac{1}{2}- = \boxed{\dfrac{1-e}{2}}$