Question

Mă poate ajuta cineva cu rezolvarea completă a 2 functii, din capitolul cls 11 final, numit ,, Reprezentarea geometrică a graficului functiei,,, care conține toate lucrurile invățate in clasa a 11 a ( stabilirea domeniului de definitie,

-determinarea intersectiilor cu axele de coordonate GF OX, GF OY ,

-determinarea asimptotelor la graficul functiei

- calculul derivatei I si a II a si studiul monotoniei si a punctelor de extrem ( daca este cazul si a altor puncte )

- Intocmirea tabelului de variatie al functiei

- Reprezentarea geomatrica a graficului.


Funcțiile:

-f(x)= 2x^3 + 2

-f(x)= x/(x-1)^2


Am nevoie urgent, v-as fi mult recunoscator!! Multumesc!

Answer 1

Răspuns:

f(x)=2x³+2

Domeni  de  definiti  RCoDomeniul  R

Intersectiaa   cu  Ox  f(x)=0

2x³+2=0║:2

x³+1=0

(x+1)(x²+x+1)=0

x+1=0   x1=-1∞Paranteza  2  e  o  functie  de  gradul  2  cu  discriminantul Δ=-3<0  Deci  e  strict  pozitiva

Singurul punct  de   intersectiee  e  cu Ox este (-1,0)

Intersetia  cu  OY  f(0)=2*0³+2=2  (0,2)

x->-∞ limf(x)=lim(2x³+2)= -∞

x->+∞limf(x)=lim(2x³+2)=+∞

Derivata  1

f `(x)=6x²

f `(x) =0 6x²=0

x=0

Deoarecece  functia  e   pozitiva  pt   x<0  si  x>0  =>   x=0  esrte  punct  de   inflexiune

Derivata  e  strict  pozitiva  pe  R , deci   functia  e    strict  crescatoare

Derivata  2

f ``(x)=(6x²)  `=12x

f   ``(x)=0    12x=0    x=0 Punct  de  inflexiune

Pt   x>0  f  ``(x)>0   functia  este  convexa

x<0   f  ``(x)<0  functia   este   concava

Tabelul   de  variiatie

x    l -∞               -1      0                      +∞

_______________________________

f `(x)l  + +   +     +     +    +     +    +    +   +

______________________________

f(X) l  -∞  /      /   0   /      /      /     /    /   /

_________________________________

f``(x)              ∩    0            U

Graficul   e   in  atasament   1

_________________________________________________________

f(x)=x/(x-1)²

x-1≠0=>  x≠1

Domeniul  R\{1}

Codomeniul  R

Intersectia  cu  Ox

f(x)=0 x/(x-1)²=0   x=0

Intersectia  cuOY  f(0)=0

lim  ;la  -∞

x->-∞limf(x)=limx/(x-1)²=0  fiindca  gradul  numaratorului  <  gradul  numitorului

x->+∞ limf(x)=lim x/(x-1)²=0     analog

Asimptpota  verticala  in  =1

x->1  ,  x<1  lim  x/(x-1) ²=1/(1-0-1)²=1/(-0)²    =1/+0=+∞

x->1   x>1 lim     x/(x-1)²=1/(1+0-1)²=1/+0=+∞

X=1   asimptota in  1   la   +∞

DerivatA

f `(x)=[x `(x-1)²-x(x-1)² `]/(x-1)²]²=

[(x-1)²-x*2(x-1)]/(x-1)⁴=

(x-1)[(x-1)-2x]/(x-1)⁴+

(X-1)(X-1-2X)/(x-1)⁴

(x-1)(-x-1)/(x-1)⁴=-(x-1)(x+1)/(x-1)⁴=

-(x²-1)/(x-1)⁴=(1-x²)/(x-1)⁴

f `(x)=0   1-x²=0   x=+/-1

Conform regulii  semnului  pt  functia  de   gradul  2   pt x∈(-∞,-1)U(+1,+∞)

derivata  e  negativa  , deci  f  descrescatoare

Pt x∈[-1,1)  derivata  e   pozitiva  deci  f crescatoare=>

x=  -1 punct   de   minim.  x=1  ∉Gf

f(-1)=-1/(-2)²=  -1/4

DerivatA2

f  ``(x)=[(1-x²) `(x-1)⁴-(1-x²)(1-x)⁴ `]/(1--x)⁸=

[(-2x(x-1)⁴-4(1-x²)(1-x)³](1-x)⁸=

(1-x)³[-2x(1-x)-4+4x²]/(1-x)⁸=

(1-x)³(-2x+2x²-4+4x²)/(1-x)⁸=

(1-x)³(6x²-2x-4)/(1-x)⁸

Punctele  de  inflexiune

(1-x)³(6x²-2x-4)=0

1-x=0

x=1∉Domeniu

6x²-2x-4=0

x=-2

x=3

Semnul  derivatei  a  2-a

x      l  -∞           -2           1           3        +∞

___________________________-________

1-x   0+            +     +     +  l-   -    -   -    -    -

____________________________________

6x²-2x-4l+   +    +  0-   -   -    -   -    -   0+    +    +  +

____________________________________

f  ``(x)l  +      +      +  0-    -   -l+   +    +   0-     -     -   -  

DEci  x={-2,3} puncte   de  inflexiune

f ``(x)>0  x∈(-∞,-2]U(1,3]  f   convexa

f  ``(x)<0 x∈(-2,-1)U(3,+∞)  f  concava

Tabelul  de   variatie

x     l   -∞      -2,      -1    0         1             3            +∞

-----------------------------------------------------------------------

f `(x)l -         -    -   -    0+      +   +l-    -   -    -    -     -  

_________________________________________

f(x)   l0\     \       \   \-1/4/  /      /    /+∞\    \    \    \      \    \      

Explicație pas cu pas: