Question

Ma poate ajuta cineva cu subiectele B si C de la exercițiul 1

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Answer 2

Explicație pas cu pas:

b)

Aratam intai ca "*" este asociativa.

"*" este asociativa daca (x*y)*z=x*(y*z), oricare ar fi x,y,z∈IR.

(x*y)*z=(x+y+2)*z=x+y+2+z+2=x+y+z+4

x*(y*z)=x*(y+z+2)=x+y+z+2+2=x+y+z+4

Deci, "*" este asociativa.

Calculam x*x.

x*x=x+x+2=2x+2

Calculam x*x*x.

x*x*x=(2x+2)*x=2x+2+x+2=3x+4.

Rezolvam ecuatia ceruta.

x*x*x=25

3x+4=25

3x=21

x=7

c)

1) Am aratat la b) ca "*" este asociativa.

2) Verficam comutativitatea.

"*" este comutativa daca x*y=y*x, oricare ar fi x,y din IR.

y*x=y+x+2=x+y+2=x*y

Am aratat ca "*" este comutativa.

3) Cautam elementul neutru.

Exista e∈IR astfel incat pentru orice x∈IR, x*e=e*x=x.

Cum "*" este comutativa, este suficient sa rezolvam o singura ecuatie.

x*e=x

x+e+2=x

e+2=0

e=-2

Deci, e=-2 este elementul neutru.

4) Cautam elemtele invarsabile.

Pentru orice x∈IR, exista x'∈IR astfel incat x*x'=x'*x=e.

La fel, cum "*" este comutativa, este suficient sa rezolvam doar o ecuatie.

x*x'=-2

x+x'+2=-2

x'=-2-2-x

x'=-4-x

Deci, oricare ar fi x din IR, inversul acestui element este x'=-4-x.

5) Verifcam faptul ca "*" este bine definita.

Fie x si y∈IR. Aratam ca rezultatul compunerii, x*y, este in IR.

x*y=x+y+2∈IR deoarece daca la doua numere reale adunam 2, rezultatul este tot un nr real.

Deci din 1),2),3),4) si 5), (IR,*) este grup.