Question

Ma poate ajuta cineva? Va rog.​
Fara d si g.

Answer 1

Răspuns:

a) Criteriul radacinii:

$\lim_n \sqrt[n]{\frac{n}{(n+\frac{1}{n})^{n^2}}} = \lim_n \frac{\sqrt[n]{n}}{(1+\frac{1}{n})^n} = \frac{1}{e}<1$ deci seria e convergenta.

b) $x_n=\frac{3n^{n+1}}{(2n+1)^n}= \frac{3n\cdot n^n}{2^n (n+\frac{1}{n})^n} = \frac{3n}{2^n}\cdot \frac{n^n}{(n+\frac{1}{n})^n} \leq \frac{3n}{2^n}=y_n.$

Daca aratam ca $\sum_{n=1}^{\infty}y_n$ e convergenta, atunci, din criteriul comparatiei, rezulta ca $\sum_{n=1}^{\infty}x_n$ e convergenta. Se aplica criteriul raportului:

$\lim_n \frac{y_{n+1}}{y_n} = \lim_n \frac{3(n+1)}{2^{n+1}}\cdot \frac{2^n}{3n} = \lim_n \frac{3n+3}{6n} = \frac{1}{2}<1$, deci  $\sum_{n=1}^{\infty}y_n$ e convergenta.

c) Criteriul raportului.

$\lim_n \frac{(n+1)a^{n+1}}{na^n} =\lim_n \frac{(n+1)a}{n}=a$.

Daca a<1, atunci seria e convergenta. Daca a>1, atunci seria e diverenta. Daca a=1, seria devine $\sum_{n=1}^{\infty}n$ care e divergenta din criteriul necesar:$\lim_n n = \infty\neq 0$.

e) Tot cu criteriul raportului. convergenta pentru $\alpha\leq 1$ si divergenta pentru $\alpha>1$. Observatie: Pentru $\alpha=1$ seria $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n^2-1}$ e convergenta pentru ca $\frac{1}{4n^2-1}\leq \frac{1}{n^2}$ si $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ este convergenta (Seria armonica generalizata).

f) Criteriul radacinii:

$\lim_n \sqrt[n]{\frac{(ln n)^{-n}}{n}} = \lim_n \frac{1}{\sqrt[n]{n(ln n)^n}} =\lim_n \frac{1}{ln n \sqrt[n]{n}} = 0<1,$ deci seria e convergenta.

h) Criteriul radacinii: Practic trebuie calculata:

$\lim_n\left( \frac{1^p+2^p+\cdots+n^p}{n^p}-\frac{n}{(p+1)} \right) = \lim_n \frac{(p+1)(1^p+\cdots+n^p) - n^{p+1}}{(p+1)n^p}$

si aia merge cu Cesaro-Stolz... dar e mult de scris. :( Daca n-am gresit la calcule, mi-a dat 1/2, adica seria e convergenta.