Question

Mă poate ajuta și pe mine cineva cu explicații la acest exercițiu? Punctul b) a fost făcut și în clasă, dar nu am înțeles și nu îmi dau seama cum să le rezolv pe celelalte (a, c și d) ​

Answer 1

Definitie: O functie este injectiva daca oricare ar fi x1 si x2 din R, x1 diferit de x2, trebuie sa ne rezulte f(x1) diferit de f(x2).

Caracteristica: O functie este injectiva daca oricare ar fi x1 = x2 ne rezulta ca f(x1) = f(x2)

Folosim caracteristica pentru ca e mai usor sa demonstrezi o egalitate decat o inegalitate!

a) f(x-1) + 2f(-x) = -1 -3x, x aparine lui R

Fie f(x) = y. Inlocuim in relatie:

y - 1 - 2y = -1 - 3x

-y = - 3x

y = 3x

Deci f(x) = 3x

Fie x1 si x2 din R:

x1 = x2. Inmultim cu 3:

3x1 = 3x2. Obtinem f(x1) si f(x2)

f(x1) = f(x2)

Deci f = injectiva

d) f(x + 1/2) + f(1/2 - x) = x (x<=0), 2x (x>0)

Fie f(x) = y. Inlocuim:

1. y + 1/2 + 1/2 - y = x daca x<=0

1 = x daca x<=0

x = 1 daca x<=0

2. y + 1/2 + 1/2 - y = 2x daca x>0

1 = 2x daca x>0

x = 1/2 daca x>0

Deci f(x) = 1 daca x<=0 sau 1/2 daca x<0

Fie x1 si x2 din R:

x1 = x2

Expresia de mai sus este adevarata oricare ar fi x1 si x2 din R. Daca x1 si x2 au aceleasi semne ne rezulta functiile acestora sunt 1 fie 1/2.

De exemplu:

x1=x2=0 => f(x1)=f(x2)=1

x1=x2=5 => f(x1)=f(x2)=1/2

Daca nu reusesti ceva la c, astept orice intrebare. Ajuta sa lucrezi singura, nu mai stau sa-l fac si pe c:))