Question

Ma pujteti ajuta cu exercitiile 27 si 28 din imaginea de mai jos? Multumesc.

Answer 1

Vom folosi inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz:

$(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2 \leq (a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)$

27.
a)
Scriem inegalitatea asa:

$(x\cdot1+y\cdot1+z\cdot1)^2 \leq (1^2+1^2+1^2)(x^2+y^2+z^2)$

Se observa ca este inegalitatea CBS.

b)
Aici vom folosi inegalitatea mediilor:
[tex] \frac{x^4+y^4}{2} \geq \sqrt{x^4y^4}\rightarrow \frac{x^4+y^4}{2} \geq x^2y^2\\ \frac{y^4+z^4}{2}\geq y^2z^2\\ \frac{x^4+z^4}{2}\geq x^2z^2 [/tex]

Adunam inecuatiile:
[tex] \frac{x^4+y^4}{2} + \frac{y^4+z^4}{2} + \frac{x^4+z^4}{2} \geq x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\\ \frac{2x^4+2y^4+2z^4}{2}\geq x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\\ x^4+y^4+z^4\geq x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\ \ \ \ \ (1)[/tex]

Vom folosi inca odata inegalitatea mediilor pentru termenii din dreapta:
[tex] \frac{x^2y^2+y^2z^2}{2} \geq \sqrt{x^2y^4z^2} \rightarrow \frac{x^2y^2+y^2z^2}{2} \geq xy^2z\\ \frac{x^2y^2+x^2z^2}{2} \geq x^2yz\\ \frac{y^2z^2+x^2z^2}{2} \geq xyz^2 [/tex]

Le adunam din nou:
[tex]x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2 \geq x^2yz+xy^2z+xyz^2\\ x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2 \geq xyz(x+y+z)\ \ \ \ \ (2)[/tex]

Combinam cele doua inecuatii pe care le-am demonstrat:
$x^4+y^4+z^4\geq x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2 \geq xyz(x+y+z)$

28.
Ne vom folosi din nou de CBS:
[tex](a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2) \geq (a\cdot1+b\cdot1+c\cdot1)^2\\ a^2+b^2+c^2 \geq \frac{(a+b+c)^2}{3} [/tex]

Stim ca suma a+b+c este mai mare sau egala cu 3. Sa presupunem ca a+b+c este cea mai mica valoare, adica 3:

[tex]a^2+b^2+c^2 \geq \frac{(3)^2}{3}\\ a^2+b^2+c^2 \geq 3 [/tex]

Ceea ce trebuia demonstrat. Daca ii dam lui (a+b+c) o valoare mai mare de trei, atunci, patratul sumei va fi mai mare, si inegalitatea va fi mereu respectata.