Question

Ma puteti ajuta?!
5. Se consideră expresia E(x)=3(x+1)2 + 2(x+2)(x+3)–(x+5), unde x este număr real.
Demonstrați că, pentru orice număr natural n, numărul natural E(n) este divizibil cu 10.
Multumesc! ​

Answer 1

Răspuns:

da, te putem ajuta

Explicație pas cu pas:

calcul direct, apoi cateva mici artificii de calcul

3(x+1)²+2(x²+5x+6)-x-5=

3x²+6x+3+2x²+10x+12-x-5=

5x²+15x+10=5(x²+3x+2) div cu 5

5(x+1) (x+2)

sau x+1 , sau x+2, ca nr.succesive, sunt div cu 2

2 si 5 prime, deci prime intreele, deci exprsia e div cu [2,5]=10

Answer 2

$\it E(n)=3(n+1)^2+2(n+2)(n+3)-(n+5),\ n\in\mathbb{N}\\ \\ Not\breve am\ n+1=t,\ iar\ expresia\ devine:\\ \\ E(t)=3t^2+2(t+1)(t+2)-(t+4)=3t^2+2t^2+6t+4-t=4 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow E(t)=5t^2+5t=5t(t+1) \in M_5 \Rightarrow E(t)\ \vdots\ 5\ \ \ \ \ (1)\\ \\ t(t+1)\ este\ produs\ de\ dou\breve a\ numere\ naturale\ consecutive,\ deci:\\ \\ t(t+1)\ \vdots\ 2 \Rightarrow E(t)\ \vdots\ 2\ \ \ \ \ \ (2)\\ \\ (1),\ (2) \Rightarrow E(t)\ \vdots\ 10,\ \forall\ t\in\mathbb{N} \Rightarrow E(n)\ \vdots\ 10$