Question

Ma puteti ajuta?
Aratati ca numarul a=2^0+2^1+2^2+2^3+...+2^2011 este divizbil cu 15

Answer 1

Observi  ca  termenii  sunt  in  progresie  geometrica, cu ratia q= 2  a1=2^0=1  ,  a2=2....a2012=2^2011.
Scrii formula  sumei  unei  progresii  geometrice
Sn=a1*(q^n-1)/(q-1
Faci  inlocuirile
a=Sn=(2^2012-1)/(2-1)=2^2012-1
studiezi  ultima  cifra  a  puterilor lui  2
2^1=2
2²=4
2³=8
2^4=16  U(2^4)=6
....................................
dupa  care  ultima  cifra  se  repeta  periodic din  4  in  4.
Observi  ca  daca  expunentul  e  divizibil  cu  4  ultima  cifra  va  fi  6
U2^(2012)=6
U(a)=  U(2^2012)-1=  6-1=5> Deci  a  divizibil  cu  5
Rescri suma
(1+2)+(4+8+...+(2^2010+2^2012) =3+4*3+...+2^2010*(1+2)=
3(1+4+...+2^2010)>  acest  numar  e  clar  divibil  la  3.
al  3
daca  a  se  divide  cu  3  si  cu  5  atunci  a  se  divide  si  cu  3*5=15