Question

Mă puteți ajuta, va rog ?

Answer 1

se verifica pt n=1
2+√5+2-√5=4∈Z
presupunem adevarata Pn
(2+√5)^n+(2-√5)^n∈N
 Pn+1
 (2+√5)^n * (2+√5) + (2-√5)^n* (2-√5)=

2*(2+√5)^n +√5 (2+√5)^n+ 2( 2-√5)^n-√5(2-√5)^n=
2[(2+√5)^n+ (2-√5^n]+√5[(2+√5)^n- (2-√5)^n]
 prima paranteza este un produsintre 2∈Z si (2+√5)^n+(2-√5)^n ∈Z

in adoua paranteza toti termeni in putetri impare ai lui√5 , deci ceicare ciontin pe √5, din dezvoltarea celr doua binoame  vor ramane pt ca apar de 2 ori cu plus  si cei in [puteri pare, adica numerele intregi se vor de reduce, pt ca apar odat cu + odat cu -, deci a doua paranteza va fi de forma b√5, in care b∈Z care inmultita cu√5  va da un nunmar de forma 5b∈Z
 deci tot numarul∈Z
 Pn⇒Pn+1 formul este demonstrata prin inductie si
 (2+√5)^n+(2-√5)^n ∈Z, ∀n∈N


ALTFEL , mai simplu (?)
 fie ecuatia x²-4x-1 cu radacinile x1=2+√5 si x2=2-√5

x1+x2=S1=-(-4)/1=4∈Z

cum x1 veridica ecuatia
 x1²-4x1-1=0
sau
x1²=4x1+1  relatia (1)
analog
x2²=4x2+1 relatia (2)
atunci

x1²+x2²=S2= 4S1+2 ∈Z


inmultim relatia (1) cu x1
x1³=4x1²+x1
si. nalog , relatia (2) cu x2
x2³=4x2²+x2
atunci S3=x1³+x2³=4S2+S1∈Z


presuopunem adevarta
(x1)^n= ax1^(n-1) +bx1^(n-2) ∈Z cu a, b, x1^nm, x1^(n-1) si x1^(n-2)∈Z
 analog si x2^n=ax2^(n-1) +bx2(n-2)∈Z
deci si Sn= aSn-1+bSn-2∈Z si toate sumele precedente ;am verificat deja pt S1, S2 si S3, deci avem relatiade recurenta verificat pt
S3=aS2+bS1

atunci
 x1 ^ (n+1)=ax1^ n+bx1^(n-1)
si
 x2 ^ (n+1)=ax2^ n+bx2^(n-1)

deci
Sn+1= a Sn+bSn-1
 cum a, b, Sn si Sn-1∈Z⇒Sn ∈Z
deci relatia e verificata prinm inductieb matematica completa
si
(2+√5)^n+(2-√5)^n∈N


pt n=0, se verifica imediat 1+1=2∈Z

dec am verificat pt n∈N
 dar problema ne cre n∈Z


pt n∈Z\N, se observan ca  (dupa cum ziceam, astea cu "se observa" imi "plac" la maxim)
(2+√5)^n=[-(2-√5)]^(-n)  unde -n∈N
si
(2-√5)^n=[-(2+√5)]^(-n) unde -n∈N  ****
 adica avem aceeasi relatie demonstrata ca ∈N , dar cu semne schimbate
 dac n este impar, deci suma pt puteri numere intregi negative suma =-suma pt puteri naturale cand suma ∈N, deci suma cu puteri negative ∈Z\N
dac n este par, suma este aceeasi, dar se afla oricum in Z


deci relatia este adevarata ∀n∈Z


***
1/(2+√5)=(2-√5)/(4-5)=√5-2=-(2-√5)

1/(2-√5)=(2+√5)/(4-5)=-(2+√5)

Answer 2

..................................