Question

Ma puteti ajuta va rog frumos dar urgent si imi trebuie si desenul plsss repede!!!
Fie rombul ABCD , m(B) = 120 de grade , E simetricul lui B fata de AD si F simetricul lui D fata de AB . Demonstreaza ca : a) patrulaterele ABDE si ADBF sunt romburi , b) punctele E , A , F sunt coliniare , c) Triunghiul CEF este echilateral .

Answer 1

Notam cu a=latura rombului. Ai desenul atasat.

Cum diagonala intr-un romb este si bisectoare, inseamna ca BD este bisectoarea unghiului ABC a carui masura este de 120 grade, deci m(<ABD)=m(<CBD)=60 grade. Triunghiurile ABD si CBD sunt isoscele (la romb avem toate laturile egale), cu AB=AD=CB=CD, deci m(<BDA)=m(<ABD)=60 grede, deci triunghiul ABD este echilateral, cu latura=a.
Analog triunghiul CBD echilateral, iar in triunghiurile echilaterale toate liniile importante (inaltimi=mediane=bisectoare, linii mijlocii) corespunzatoare unghiurilor si laturilor lor sunt egale doua cate doua.

a) Construim BB' perpendicular pe AD si prelungim BB' cu B'E=BB'. In triunghiul echilateral ABD, BB' este si inaltime, si mediana, deci AB'=B'D. Deci in patrulaterul ABDE, diagonalele AD si BE se injumatatesc, deci ABDE este paralelogram.

Analog, construim DD' perpendicular pe AB si prelungim DD' cu D'F=DD'. In triunghiul echilateral ABD, DD' este si inaltime, si mediana, deci AD'=D'B. Deci in patrulaterul ADBF, diagonalele AB si DF se injumatatesc, deci ADBF este paralelogram.

b) Diagonala AD din paralelogramul ABDE imparte paralelogramul in doua triunghiuri ABD si ADE congruente (L.L.L.), pentru ca in paralelogram laturile opuse sunt respectiv congruente, iar AD este latura comuna.

Deci, cum triunghiul ABD este echilateral (am aratat la inceput), inseamna ca si triunghiul ADE este echilateral, deci are toate unghiurile de 60 grade.

La fel, in paralelogramul ADBF avem triunghiul ABD congruent cu triunghiul ABF (L.L.L.), deci si triunghiul ABF este echilateral, cu toate unghiurile de 60 grade.

Asadar:
m(<EAF)=m(<EAD)+m(<DAB)+m(<BAF)=60+60+60=180 grade, deci E, A si F sunt coliniare.

c) Inn paralelogramul ABCD avem triunghiul ABD echilateral congruent cu triunghiul BDC (L.L.L.), deci si triunghiul BDC este echilateral si, la fel ca la punctul b), gasim m(<CDE)=180 grade, deci C, D si E sunt coliniare, respectiv m(<CBF)=180 grade, deci C, B si F sunt coliniare, iar CB=BF=FA=AE=ED=DC=a din conghruentele de mai sus, adica CE=2a=CF=EF, adica triunghiul CEF este echilateral.