Question

Ma puteti ajuta va rog? :''>

In dreptunghiul ABCD, bisectoarele unghiurilor se intersecteaza in M,N,P,Q. Aratati ca patrulaterul MNPQ este patrat. 

Answer 1

Se arata mai intai ca MNPQ este dreptunghi (este paralelogram cu toate unghiurile de 90 grade), dupa care arati ca are diagonalele perpendiculare, deci este romb, deci are doua laturi consecutive congruente, deci dreptunghiul este patrat.

Se arata mai intai ca MN||PQ, respectiv MQ||NP, din unghiurile de 45 grade pe care le formeaza cu laturile dreptunghiului ABCD. De aici vei obtine si unghiurile de 90 grade ale lui MNPQ.

Apoi se observa ca M si Q, respectiv N si P (varfurile opuse) se afla pe liniile mediatoare ale laturilor dreptunghiului ABCD, acestea fiind perpendiculare, dar si diagonale in paralelogramul MNPQ, deci este romb.
q.e.d.