Question

Măcar ex 25 va rog...

Answer 1

Răspuns:

Sunt mai multe lucruri care trebuie verificate:

1. Daca $A, A'\in G$, atunci $A\cdot A'\in G$.

Fie $A,A'\in G$. Atunci: (la numere pui caciulita ^ deasupra)

$A\cdot A'=\begin{pmatrix}1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1 & a' & b' \\ 0 & 1 & c' \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & a+a' & b+b'+ac' \\ 0 & 1 & c+c' \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\in G$

2. Asociativitatea: Rezulta din faptul ca inmultirea matricilor este asociativa.

3. Elementul neutru: Elementul neutru la inmultirea matricilor este $I_3$, care este un element din G (pentru a=b=c=0).

4. Orice matrice A din G este inversabila si inversa e tot in G.

Fie $A\in G$. Atunci $det(A)=\hat 1 \neq \hat 0$, deci este inversabila. Cautam $A'\in G$ astfel incat

$A\cdot A' = A'\cdot A = I_3$.

Din $A\cdot A' = \begin{pmatrix}1 & a+a' & b+b'+ac' \\ 0 & 1 & c+c' \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$, rezulta ca:

a+a'=0, c+c'=0, b+b'+ac'=0. Deci a'=-a, c'=-c si b'=-b-ac'=-b+ac.

De unde rezulta ca $A'= \begin{pmatrix}1 & -a & ac-b \\ 0 & 1 & -c \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.$

Pe de alta parte $A'\cdot A = I_3$. (verifica!)

Din cele de mai sus, rezulta ca $A^{-1}=A'\in G$.

Din 1,2,3,4 rezulta ca G este grup, impreuna cu inmultirea matricilor.