Question

Masura unghiurilor ascutite ale unui triunghi dreptunghic sunt direct proportionale cu nr 1 si 2. Daca distanta dintre ortocentrul triunghiului si centrul cercului circumscris lui este de 2 cm, determinati aria triunghiului.

Answer 1

$\displaystyle Sa~notam~masurile~unghiurilor~cu~x~si~y. \\ \\ Avem:~ \frac{x}{1}= \frac{y}{2} \Leftrightarrow y=2x. \\ \\ Dar~x+y= 90 \textdegree \Leftrightarrow 3x=90 \textdegree \Rightarrow x=30 \textdegree \Rightarrow y=60 \textdegree. \\ \\ Ortocentrul~triunghiului~dreptunghic~este~chiar~varful~ \\ \\ unghiului~drept,~iar~centrul~cercului~circumscris~este~mijlocul \\ \\ ipotenuzei.~Prin~urmare~distanta~precizata~este~mediana~ \\ \\ corespunzatoare~ipotenuzei.$

$\displaystyle Dar~mediana~corespunzatoare~ipotenuzei~este~jumatate~din \\ \\ lungimea~ipotenuzei \Rightarrow ipotenuza=4 cm. \\ \\ Cateta~opusa~unghiului~de~30 \textdegree = \frac{ipotenuza}{2}=2~cm. \\ \\ Calculam~aria~cu~formula:~\frac{acsinB}{2},~unde~a=BC,~c=AB, \\ \\ in~triunghiul~ABC,~dreptunghic~in~A,~cu~m( \angle B)=60 \textdegree. \\ \\ Aria=\frac{4 \cdot 2 \cdot sin60 \textdegree}{2}=2 \sqrt{3}~(cm^2)$