Question

Măsurile unghiurilor A, B, C ale unui triunghi ABC sunt invers proporționale cu 1/2, 1/7 și 0,(1)

a) aflați măsurile unghiurilor triunghiului
b) fie D apartine de AB astfel încât măsura ACD=20 grade. Demonstrați că:
i) BCD este isoscel
ii) [CD] este mediană în triunghiul ABC
iii) Bisectoarea ADC este paralelă cu BC.

Answer 1

Poza conține rezolvarea.

Answer 2

$\it 0,(1)=\dfrac{1}{9} \\ \\ \\ \{A,\ B,\ C\} \ i.\ p. \left\{\dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{7},\ \dfrac{1}{9} \right\} \Rightarrow \{A,\ B,\ C\} \ d.\ p. \{2,\ 7,\ 9\}\Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow \dfrac{A}{2} =\dfrac{B}{7} =\dfrac{C}{9} = \dfrac{A+B+C}{2+7+9}=\dfrac{180^o}{18} = 10^o$

$\it\dfrac{A}{2} =10^o \Rightarrow A = 2\cdot10^o \Rightarrow A=20^o \\ \\ \\ \dfrac{B}{7} =10^o \Rightarrow B = 7\cdot10^o \Rightarrow B=70^o \\ \\ \\ \dfrac{C}{9} =10^o \Rightarrow C = 9\cdot10^o \Rightarrow A=90^o$

b)

$\it m(\widehat{BCD}) = 90^o-20^o=70^o =m(\widehat{CBD}) \Rightarrow \Delta BCD-isoscel,\ DC=DB$

Triunghiul ACD are unghiurile din A și C de 20° ⇒ ΔDAC-isoscel, DC = DA.

Dar, am stabilit că DC = DB, deci DA= DB ⇒ CD -mediană în ΔCBA

În triunghiul DAC ⇒ ∡CDA = 180° -2·20° =180° - 40° = 140°

Fie [DF -bisectoarea unghiului CDA, cu F pe AC, ⇒ ∡CDF =140°/2=70°

În Δ FCD ⇒ unghiurile din C și D au împreună 90°, deci ∡DFC =90° ⇒

⇒ DF⊥AC și pentru că BC⊥AC ⇒ DF || BC