Question

Masurile unghiurilor triunghiului ABC sunt direct proportionale cu 3 , 4, 5 iar AC= 12√2
Sa se afle AB , BC , sinA , sinB

Answer 1

Ip:                                                                Concluzie:
ΔABC                                                            AB= ?
m(∡A)= a                                                      BC= ?
m(∡B)= b                                                      sin A=?
m(∡C) = c                                                     sin B= ?
m(∡A), m(∡B), m(∡C) d.p (3;4;5)                  
AC= 12√2                                                   
                                                                      

Dem:

_a_ = _b_ = _ c_ = k            _a_ = k   ⇒ a= 3k  ⇒a=3·15
  3        4         5                      3                             a= 45°
 
                                             _b_ = k  ⇒  b= 4k ⇒b= 4·15
                                               4                            b= 60°
 
                                            _c_ = k   ⇒ c= 5k ⇒c= 5·15
                                              5                            c= 75°

m(∡A)+ m(∡B)+ m(∡C)= 180°         m(∡A)= 45°  sin(A)= _√2_
3k+ 4k+ 5k= 180°                                                                 2
12k= 180° I: 12
    k= 15°                                         m(∡B)= 60°  sin(B)=_√3_
                                                                                            2
       
           A
              I
            I    I
          I 45°      I                           Observaţie! Din vf. C se duce înăţime pe AB
        I                   I
   D I                              I
     I                                         I
    I                                                  I
B I 60°_________________________75°I C

Δ ADC   m(∡D) = 90°        ⇒m(∡C) = 180°-(90°+ 45°)
              m( ∡A) = 45°                      =180°- 135°            ⇒ΔADC= tr. dr. is.
                                                         = 45°


AD= DC= x ⇒      AC²= CD²+AD²
                       (12√2)²= x²+ x²
                         12²· 2= 2x² I : 2
                          12²   = x²
                          12    = x ⇒  AD=CD= 12 cm

Δ CDB     m(∡D) = 90°  ⇒ m(∡C)= 180°- ( 60°+ 90°)
                m(∡ B)= 60°                 = 180°- 150°
                                                     = 30°   T.∡ 30°

BC= x 
BD= _x_     T.∡ 30°                   BC²= BD²+ CD²
          2                                       x²  =(_x_)² + 12²
                                                             2
                                                   x² = _x²_ + 12²
                                                            4
                                                 4x²= x²+ 4· 144
                                           4x²- x² = 4·144
                                                3x²= 4·144 I : 3
                                                  x²= 4·48
                                                  x² =2²·2⁴· 3
                                                  x= 2³√3
                                                  x = 8√3  ⇒ BC= 8√3 cm    BD= _8√3_
                                                                                                       2
                                                                                            BD= 4√3 cm
                                                                       

AB= AD+ BD
AB= 12+ 4√3
 AB= 4( 3+ √3) cm