Question

Media aritmetică a numerelor naturale n
pentru care $\sqrt{40-4 \sqrt{n-3} }$ ∈ N , este : ...

Answer 1

este natural daca  n -3 ≥ 0  ;  n ≥ 3 
n = 3 ;4;5;6 ...... 
rad ( 40 - k) ∈ N    daca  :                                 unde k = 4√( n-3) 
avem √1  ; √4 ; √9 ; √16 ; √25 ; √36 
40 - 39 =1         atunci  39 =4√(n -3)         ; 1521  = 16(n -3)  ; 1521 =16n  - 48 
                                                       16· n =1569  ; n = 1569/16 = 98.06∉N
40 - 36 = 4                     36 = 4√(n -3)         ;  √(n -3) =9      ; n -3 =81 
                                       n = 84
 40 - 31 = 9                     31 = 4√(n-3)       ; 961=16n - 48 
                                               16n = 961 + 48 = 1009   ; n =1009 /16 ∉N
 40 - 24 = 16                  24= 4√( n -3)           ;  6=√(n -3) 
                                       36 =n - 3              ; n =39 
 40 - 15 = 25                  15 =4√( n -3) nu are solutie 
40 -  4 =36                    4 = 4√( n-3)       ; 1 =√( n-3) 
                                     n -3 = 1  ;  n = 4 
solutia  n = 84 ; 39 ; 4
media aritm = ( 84 + 39 + 4) /3 = 127 / 3     

Answer 2

$Conditia~de~existenta~a~radicalului~este~40 \geq 4 \sqrt{n-3} \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow 10 \geq \sqrt{n-3} \Leftrightarrow 100 \geq n-3 \Leftrightarrow 103 \geq n~si~n \geq 3. \\ \\ \sqrt{40-4 \sqrt{n-3}}=k \in N \Rightarrow 40-4 \sqrt{n-3}}=k^2 \Rightarrow \sqrt{n-3}= \frac{40-k^2}{4} \in Q$

$Folosind~proprietatea~"Daca~m \in N,~iar ~\sqrt{m} \in Q,~atunci~\sqrt{m} \in N", \\ \\ deducem~ca~ \sqrt{n-3} \in N \Rightarrow n \in \{3,4,7,12,19,28,39,52,67,84 ,103 \}. \\ \\ Proband~fiecare~valoare~se~constata~ca~numerele~care~verifica~ \\ \\ cerinta~problemei~sunt:~n \in \{4,39,84\}\\ \\ m_a= \frac{4+39+84}{3}= 42,(3).$