Question

Medianele BM si CN ale triunghiului isoscel ABC, de baza BC, se prelungesc cu segmentele BM≡BD si CN≡CE. Fie BM∩CN={G}.

Answer 1

Sa se arate ca:

a)∡ABM≡∡ACN

b)ΔADE este isoscel

c)AG⊥BC

d)BC║DE

Rezolvare:

a) Studiem ΔABM si ΔACN

AB=AC (din ipoteza)

∡A unghi comun

AM=AN (M este mijlocul lui AC si N este mijlocul lui AB)

⇒L.U.L ΔABM≡ΔACN⇒ ∡ABM≡∡ACN

b)  ΔABM≡ΔACN⇒ BM=CN

Dar BM=BD si CN=CE ⇒ BD=CE=BM=CN

∡ABC=∡ACB (din ipoteza, ΔABC isoscel)

∡ABM=∡ACN (demonstrat la punctul a) (1)

∡ABD=180-∡ABM (2)

∡ACE=180-∡ACN (3)

Din (1) (2) si (3)⇒∡ABD=∡ACE

Studiem ΔABD si ΔACE

AB=AC

BD=CE

∡ABD=∡ACE ⇒L.U.L ⇒ΔABD≡ΔACE⇒ AD=AE⇒ ΔADE isoscel

c) fie AP mediana din A, P∈BC

ΔABC este isocel, atunci AP va fi si inaltime, AP⊥BC (1)

AP∩BM∩CN={G} ⇒ G∈AP (2)

Din (1) si (2) ⇒ AG⊥BC

d) Centrul de greutate se afla la doua treimi de varf si o treime de baza

$BG=\frac{2BM}{3}\\\\ CG=\frac{2CN}{3}$

Dar CN=BM⇒ BG=CG

BM=BD si CN=CE (din ipoteza) ⇒

$BG=\frac{2BD}{3}\\\\ CG=\frac{2CE}{3}$

Ne vom folosi de Reciproca Teoremei lui Thales (daca avem un sir de rapoarte egale, atunci bazele sunt paralele)

$\frac{BG}{BD} =\frac{GC}{CE} \\\\\frac{\frac{2BD}{3} }{BD} =\frac{\frac{2CE}{3} }{CE} \\\\\frac{2}{3} =\frac{2}{3} \ Adevarat$⇒ BC║DE

Un alt exercitiu cu Teorema lui Thales gasesti aici: https://brainly.ro/tema/5522522

#SPJ1