Question

Metoda inducției matematice. Exerciții.

Answer 1

Exercitii si probleme rezolvate – metoda inductiei matematice 1. Sa se demonstreze ca 1+3+5+…+(2n -1)=n²,  n   *Solutie Notam P(n) egalitatea 1+3+5+…+(2n -1)=n².Pentru a demonstra propozitia (  n)P(n) aplicam metoda inductieimatematice. Etapa de verificare Pentru n=1 se obtine P(1): 1=1², care este adevarata. Etapa de demonstratie Presupuneam ca p ropozitia P(k) este adevarata, adica 1+3+5+…+(2k -1)=k².Demonstram ca propozitia P(k=1) este adevarata, adica 1+3+5+…+(2k -1)+(2k+1)=(k+1)².Folosind ca P(k) este o propozitie adevarata se obtine 1+3+5+…+(2k -1)+(2k+1)=(k+1)²Asadar propozitia P(k+1) este adevarata. Rezulta ca propozitia P(n) esteadevarata oricare ar fi n  .2. Sa se demonstreze ca 1+ 21 + 31 +…+ n 1 <2 n ,  n   *SolutieNotam P(n) inegalitatea din enunt. Pentru a demonstra propozitia (  n) P(n)folosim metoda inductiei matematice. Etapa de verificare Pentru n=1 se obtine P(1): 1<2 1 , propozitie adevarata. Etapa de demonstratie Presupunem ca P(k) este adevarata, adica 1+ 21 + 31 +…+ k 1 <2 k . (1)Demonstram ca propozitia P(k+1) este adevarata, adica1+ 21 + 31 +…+ k 1 + 11  k <2 1  k .Avem ca P(k) este propozitie adevarata. Adunam in ambii membri aiinegalitatii (1) termenul 11  k si obtinem inegalitatea adevarata:1+ 21 + 31 +…+ k 1 + 11  k <2 k + 11  k .A demonstra ca propozitia P(k+1) este adevarata, revine la a arata ca:2 k + k 1 <2 1  k , k  1Eliminam numitorul 1  k >0 si obtinem succesiv: 2 k • 1  k +1<2(k+1)  2 k k  2 <2k+1  4(k 2 +k)<4k 2 +4k+1, inegalitateadevarata.Asadar, P(k+1) este propozitie adevarata.Cele doua etape fiind parcurse, conform metodei inductiei matematice,rezulta ca P(N) este adevarata oricare ar fi n  *.3. Sa se demonstreze ca 9 n -1 se divide cu 8, oricare ar fi n  *.Solutie Fie P(n): “ 9 n - 1  8 “. Pentru n=1 se obtine propozitia P(1): “ 9 1 -1  8 “ care este adevarata. Presupuneam ca P(k) este propozitie adevarata, adica 9 k -1  8, k  1 si demonstram ca P(k+1) este propozitie adevarata adica “ 9 1  k -1  8. “ Scriem P(k+1) cu ajutorul propozitiei P(k). Avem:9 1  k -1=9 k •9 -1=(9 k -1+1) •9 -1=(9 k -1) •9+9 -1=(9 k -1) • 9+8.Deoarece (9 k - 1)•9  8 si 8  8 rezulta ca [(9 k -1)9+8]  8. Asadar, P(k+1) estepropozitie adevarata. Rezulta ca P(n) este adevarata pentru orice n  *.