Question

Mi-ar trebui urgent această problemă!

Answer 1

Consideram x ∈Z, solutie a ecuatiei si presupunem urmatoarele variante:

i. x < 0 => 1 +2·3ˣ <= 1 +2·3⁻¹ = 5/3 <=> 1 /1 +2·3ˣ >= 1 /5/3 = 3/5, iar prin analogie obtinem 1 /1 +2·5ˣ >= 1 /7/5 =5/7 si respectiv 1 /1 +2·15ˣ >= 1 /17/15 = 15/17 iar in final avem 1 /1 +2·3ˣ +1 /1 +2·5ˣ -1 /1 +2·15ˣ >= 3/5 +5/7 -15/17 ≅ 0,43 > 1/3, deci nu este solutie;

ii. x=0 => 1/3 +1/3 -1/3 = 1/3 = 1/3, care este adevarat => x=0, solutie;

iii. x > 0 => 1 +2·3ˣ >= 1 +2·3 = 7 <=> 1 /1 +2·3ˣ <= 1/7, iar prin analogie obtinem 1 /1 +2·5ˣ <= 1/11 si respectiv 1 /1 +2·15ˣ <= 1/31, iar in final avem 1 /1 +2·3ˣ +1 /1 +2·5ˣ -1 /2·15ˣ <= 1/7 +1/11 -1/31 ≅ 0,2 < 1/3, care nu este solutie.

Solutie alternativa: observam ca 1/3 ∈Q, deci egalitatea are loc daca si membrul stang al ecuatiei este rational, adica 3ˣ, 5ˣ, 15ˣ ∈Z <=> x ∈Z, de unde in final obtinem x=0, solutie unica.

Asadar, S={0}.