Question

Ministerul Educaţiei
Centrul Național de Politici şi Evaluare în Educație
5p 5. În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC dreptunghic în A, iar punctul M este proiecția
punctului A pe BC. Lungimea segmentului BM este de 16cm, iar lungimea segmentului CM este
de 4 cm.
(2p) a) Arată că AM = 8cm.
C
A
M
(3p) b) Demonstrează că perimetrul triunghiului ABC este mai mare decât 44 cm.
B

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

a) Deoarece punctul M este proiecția punctului A pe BC, AM este inaltimea din A pe BC. Se aplica teorema inaltimii. Lungimea inaltimii corespunzatoare ipotenuzei este media geometrica a lungimii proiectiilor catetelor pe ipotenuza.  ⇒AM²=BM·CM     BM=16 cm  CM=4 cm.  ⇒

AM²=16·4=64  ⇒AM=√64  AM=8 cm

b) Perimetrul triunghiului ABC=AB+BC+CA  

BC=BM+CM=16+4=20 cm.AM=8 cm.

Teorema catetetei: Intru-un triunghi dreptunghic, lungimea fiecarei catete este media geometrica a lungimii ipotenuzei si a lungimii proiectiei catetei pe ipotenuza.

AB²=BM·BC  ⇒AB²=16·20=320  ⇒AB=√320=√(64·5)=8√5  AB=8√5 cm.

AC²=CM·BC=4·20=80  ⇒AC=√80=√(16·5)=4√5   AC=4√5 cm.

Perimetrul triunghiului ABC=AB+BC+CA= 18√5+20+4√5=20+12√5 cm

Se compara 44 cm cu valoarea obtinuta prin calcul.

44 comparat cu 20+12√5 | -20  ⇒44-20 comparat cu 20-20+12√5  ⇒

24 comparat cu 12√5 |:12 adica 2 comparat cu √5  

√2² comparat cu √5  adica √4 comparat cu √5

√4 < √5  ⇒ 44 < 20+12√5 ⇒Perimetrul triunghiului >44 cm.

Answer 2

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

a) teorema inaltimiiAM=√(16*4)=√64=8cm

b) cu teo Pitagora direct , in tr AMC si , respectiv, tr.AMBafli AC=4√5 si AB=8√5  (in orice tr dr cu catetele a si, respectiv, 2a, ipotenuza este a√5, poti demonstra cu Pitagora, sau efectua calculul  cu valorile de aici)

atunci Perim tr ABC=20+4√5 +8√5=(20+12√50cm

20+12√5 comparat cu 44 |-20

12√5 comparat cu 24  | ;12

√5 comparat cu 2=√4

√5>√4=2

deci DA, perim este mai mare de 44 cm