Question

Miscarea unui punct material poate fi descrisa de o functie de forma x=3cos(2t)+4sin(2t) ( m ) . Aratati ca miscarea punctului material este oscilatorie armonica si determina amplitudinea , faza initiala si viteza maxima a oscilatiei . Multumesc ! :) 

Answer 1

Miscarea este compusa din doua miscari oscilatorii, deci evident ca este si ea o miscare oscilatorie (compusa).

Mai mult, cele doua oscilatii care o compun sunt perpendiculare, pentru ca sunt defazate cu $\pi /2$:

$\cos 2t=\sin(2t+\pi /2)$ .

Asta inseamna ca amplitudinea rezultanta se afla cu teorema lui pitagora, din cele doua amplitudini initiale:

$A=\sqrt{3^2+4^2} \\ \\ A=5.$

Pentru a afla faza, iti poti imagina triunghiul drptunghic in care A=5 este ipotenuza, iar catetele  sunt 3 si 4. Faza e unghiul ascutit mai mic.

Insa eu prefer varianta algebrica. Egalez miscarea data cu forma generala a ecuatiei oscilatiilor:

$x=5\sin(2t+\phi)$

Daca desfacem sinusul, dupa formulele de la trigonometrie, avem:

$x=5\sin\phi \cdot\cos 2t+5\cos\phi\cdot \sin 2t$

Daca ne uitam la ecuatia initiala, vedem ca trebuie sa avem:

$5\sin\phi = 3\\ 5\cos\phi = 4$

Din oricare ecuatie, il putem afla pe $\phi$ .

Viteza acestei oscilatii, cu datele ce le-am aflat pana acum, va fi:

$v=2\cdot 5\cos(2t+\phi )$

De aici este eident ca viteza maxima va fi

$v_{max}=2\cdot 5=10$