Question

Monotonia funcţiei: f:[3,inf)->R. F(x)=[√(3+x)-2]/(x-1)

Answer 1

Calculam derivata: $f'(x)=\frac{(\sqrt{3+x}-2)'*(x-1)-(\sqrt{3+x}-2)*(x-1)'}{(x-1)^{2}}$

$=\frac{\frac{1}{2\sqrt{3+x}}*(x-1)-(\sqrt{3+x}-2)}{(x-1)^{2}}$

$=\frac{\frac{x-1}{2\sqrt{3+x}}-\sqrt{3+x}+2}{(x-1)^{2}}$

$=\frac{x-1-2(3+x)+4\sqrt{3+x}}{2\sqrt{3+x}(x-1)^{2}}$

$=\frac{-x-5+4\sqrt{x+3}}{2\sqrt{3+x}(x-1)^{2}}$


⇒Derivata nu are radacini reale.
Valoarea derivatei in 3 este negativa, $\lim_{x \to \infty} \frac{-x-5+4\sqrt{x+3}}{2\sqrt{3+x}(x-1)^{2}}=0$, deci derivate este negativa pentru orice x din domeniu ⇒ functia f este descrescatoare pe domeniu.