Question

Mulţimea A { x∈Z : x^2 - x + 1 este pătrat perfect} are
a) un element; b) două elemente; c) trei elemente.

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas :

Se cauta patratele perfecte

1) 0 : x^2-x+1=0 ->>Δ<0->>Nu avem solutii reale

2)1:x^2-x+1=1->>>x^2-x=0->>>x1=0 si x2=1   (Pana acum 2 elemente)

3) 4: x^2-x+1=4->>>x2-x-3=0->>>Δ=1+12=13 ->>>Nu vom avea radacini intregi

5) 9: x^2-x+1=9->>>x^2-x-8=0->>>>>Δ=1+4*8=33->>Nu vom avea radacini intregi

6)16: x^2-x+1=16->>>x^2-x-15=0->>>Δ=1+4*50=61->>NU vom avea radacini intregi

Se observa..Ca oricat ai cauta nu vei mai avea x din Z care sa aiba aceasta proprietate..Se vor genera Mereu Δ(numere care nu sunt patrate perfecte sau numere prime)

R:b)2elemente

Answer 2

$\it x\in \mathbb{Z},\ \ \ Fie\ k\in\mathbb{Z},\ astfel\ \ \^{i}nc\hat at\ x^2-x+1=k^2|_{\cdot4} \Rightarrow 4x^2-4x+4=4k^2 \Rightarrow$

$\it \Rightarrow 4x^2-4x+1+3=4k^2 \Rightarrow (2x-1)^2+3=4k^2 \Rightarrow3=4k^2-(2x-1)^2 \Rightarrow\\ \\ \\ \Rightarrow (2k)^2-(2x-1)^2 =3 \Rightarrow (2k-2x+1)(2k+2x-1)=3 =(-3)\cdot(-1) = \\ \\ \\ =(-1)\cdot(-3) =1\cdot3=3\cdot1$

$\it I) \begin{cases}\it 2k-2x+1=-3\\ \it 2k+2x-1=-1\end{cases}  \Rightarrow 4k=-4 \Rightarrow k=-1 \Rightarrow k^2=1$

Analog, pentru fiecare din celelalte 3 cazuri, se obține k² =1

Acum, vom avea:

$\it x^2-x+1=1^2 \Rightarrow x^2-x=0 \Rightarrow x(x-1)=0 \Rightarrow\\ \\ \Rightarrow x_1=0,\ \ x_2=1$