Question

Multimea M este formata din n multipli consecutivi ai lui 4. Suma celui mai mic si celui mai mare dintre elementele lui M este 8080 , iar suma celor maimari doua elemente este 16132 . 
a) Aeatati ca n=2015 
b) Demonstrati ca media aritmetica a tuturor elementelor lui M este element al multimii M .

Answer 1

M = {(4k+), (4k+1·4), (4k+2·4), (4k+3·4),...........[4k+(n-1)·4] }
4k+4k +4n - 4 = 8080
8k+4n = 8084      2k +n = 2021     (1)
4k+(n-2)·4 +4k+ (n-1)·4 = 16132
8k + 8n - 12 = 16132         8k+8n=16144    k+n = 2018  (2)
a) din (1) - (2) ⇒ k = 3    n = 2021 - 6 = 2015  n=2015
b)  M = { 12, 16, 20,...........8068}
M aritm. = [ 12+(12+1·4) +(12+2·4) +(12+3·4) +............+( 12+2014·4)] / 2015 =
= [12·2015 + 4(1+2+3+.......+2014)]/2015 = [ 12·2015 + 4·2014·2015/2 ] /2015 =
= (12·2015 +4028·2015)/2015 = 2015·(12+4028)/2015 = 12 + 4·1007 = multiplu de 4 ∈{M}