Question

mulțimea soluțiilor ecuației log in baza 3 din x^2- 2log in baza (-x) din 9=2 Este?

Answer 1

din baza -x deducem ca x<0
si atunci ajungem al x²=(-x)²

Answer 2

[tex]\it log_3 x^2-2log_{(-x)} 9= 2 \\ \\ Condi\c{\it t}ii \ de \ existen\c{\it t} \breve{a} \ : \\ \\ log_3 x^2 \Rightarrow x\ne 0 \ \ \ \ \ (1) \\ \\ log_{(-x)} 9 \Rightarrow \begin{cases} \it -x \ \textgreater \ 0|_{\cdot (-1)} \Rightarrow x \ \textless \ 0 \\ \\ \it -x \ne 1 |_{\cdot(-1)} \Rightarrow x \ne -1\end{cases}\ \ \ \ (2)[/tex]

Din relațiile (1), (2) ⇒ domeniul de existență a ecuației este:

$\it D = (-\infty,\ -1) \cup (-1,\ 0)$


[tex]\it x^2=(-x) ^2\Rightarrow ecua\c{\it t}ia\ dat\breve{a}\ se\ poate\ scrie: \\ \\ log_3 (-x)^2 -2log_{(-x)}9 =2 \Rightarrow 2log_3 (-x) -2log_{(-x)}9 =2 |_{:2}\Rightarrow \\ \\ \Rightarrow log_3 (-x) -log_{(-x)}9 =1 [/tex]

[tex]\it Not\breve{a}m\ t = -x,\ iar\ ecua\c{\it t}ia\ devine: \\ \\ log_3 t-log_t 9 = 1 \Rightarrow log_3 t-log_t 3^2 = 1 \Rightarrow log_3 t-2log_t 3 = 1 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow log_3 t -2\cdot\dfrac{1}{log_3 t} =1[/tex]

[tex]\it Not\breve{a}m\ log_3t = y,\ iar\ ultima\ ecua\c{\it t}ie\ devine: \\ \\ y-\dfrac{2}{y} =1 \Rightarrow y^2-2=y \Rightarrow y^2-y-2= 0 \Rightarrow y^2+y-2y-2= 0 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow y(y+1)-2(y+1)=0\Rightarrow (y+1)(y-2)=0\Rightarrow y_1=-1,\ y_2=2[/tex]

Revenim asupra notației:

[tex]\it y=-1\Rightarrow log_3 t = -1 \Rightarrow t = 3^{-1} =\dfrac{1}{3} \Rightarrow x = -\dfrac{1}{3} \\ \\ \\ y=2\Rightarrow log_3 t = 2 \Rightarrow t = 3^2 =9 \Rightarrow x = - 9[/tex]

Mulțimea soluțiilor ecuației date este :

$\it S= \left\{-\dfrac{1}{3},\ \ -9\right\} \subset\ D$