Question

(n-1)(n+1)(n+3^n) divizibil cu 3

Answer 1

Salut,

Presupunem că n este număr natural.

Împărțim mulțimea numerelor naturale în 3 submulțimi:

1). n = 3k, adică n = 0, 3, 6, .... Expresia din enunț devine:

$(3k-1)(3k+1)(3k+3^{3k}),\ care\ este\ divizibil\breve{a}\ cu\ 3\ (vezi\ a\ treia\ parantez\breve{a});$

2). n = 3k+1, adică n = 1, 4, 7, .... Expresia din enunț devine:

$3k(3k+2)(3k+1+3^{3k+1}),\ care\ este\ divizibil\breve{a}\ cu\ 3\ (vezi\ primul\ termen);$

3). n = 3k+2, adică n = 2, 5, 8, .... Expresia din enunț devine:

$(3k+1)(3k+3)(3k+2+3^{3k+2}),\ care\ este\ divizibil\breve{a}\ cu\ 3\ (vezi\ a\ doua\ parantez\breve{a}).$

Din toate cele de mai sus, rezultă că expresia din enunț este divizibilă cu 3, oricare ar fi n, număr natural.

Green eyes.