Question

N=9^0+9^1+9^2+.....+9^2023. Aflați: a)ultima cifră a lui N; b) Demonstrați că N este diferit de patrat perfect​

Answer 1

$a) \: N = 1 + {9}^{1} + {9}^{2} + ... + {9}^{2023} \\\footnotesize N = 1 + 9 + {9}^{2} (1 + 9) + {9}^{2} (1 + 9) + ... + {9}^{2} (1 + 9) \\ N = 1 + 9 + (1 + 9) { 9}^{2}\cdot1012 \\ N = 10 + 10\cdot {9}^{2} \cdot1012 \\\implies\text{ultima cifra este 0} \\ \\ \\ b) \: N = 1 + {9}^{1} + {9}^{2} + ... + {9}^{2023} \\ 9N = 9 + {9}^{2} + {9}^{3} + ... + {9}^{2024} \\ 9N - N = {9}^{2024} - 1 \\ 8N = {9}^{2024} - 1 \\ N = \frac{{9}^{2024} - 1 }{8} \\ u( {9}^{1} ) = 9 \\ u( {9}^{2} ) = 1 \\ u( {9}^{3} ) = 9 \\ ... \\ u( {9}^{2024} ) = 1 \\ \implies \: u(N) = 0 \\ \implies \: u_{2}(N) = 20 \\ \implies \: N \: \text{nu este patrat perfect}$