Question

n figura 3 este reprezentat un triunghi echilateral ABC cu AB=18cm și dreapta MO perpendiculară pe planul (ABC) unde O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC, MO=6cm.Punctul N este mijlocul segmentului BC.

a) Arătați ca perimetrul triunghiului ABC este egal cu 54cm.
b)Determinați măsura unghiului dintre dreapta MA și planul (ABC).
c) Demonstrați că distanța de la punctul a la planul (mbc) este egala cu 18 radical din 21 pe sapte

este egală cu

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

a) AB=18cm, ΔABC regulat, ⇒P(ABC)=3·AB=3·18=54cm.

b) MA oblică la (ABC), MO⊥(ABC), ⇒∡(MA,(ABC))=∡(MA,AO)=∡MAO.

AB=R√3, unde R=AO, ⇒18=AO√3, ⇒AO=18/√3=18√3/3=6√3cm

Din ΔMAO, ⇒tg(∡MAO)=MO/AO=6/6√3=1/√3, deci ∡MAO=30°.

c) BC⊥AN, BC⊥MN, ⇒BC⊥(OMN). Deci d(O,(MBC)=d(O,MN)=d.

ON=(1/2)AO=3√3cm. Deci Aria(ΔMON)=(1/2)·ON·MO=(1/2)·3√3·6=9√3cm².

Din alt mod, Aria(ΔMON)=(1/2)·MN·d

MN²=MO²+ON²=6²+(3√3)²=36+27=63=9·7, deci MN=3√7cm

Deci (1/2)·MN·d=9√3, ⇒(1/2)·3√7·d=9√3 , ⇒3√7·d=18√3 ⇒√7·d=6√3, ⇒d=6√3/√7=(6√21)/7 cm

Atunci d(A,(MBC)=3·d(O,(MBC))=(18√21)/7cm , ce rezultă din asemănarea triunghiurilor. Fie OD⊥MN, D∈MN și AE⊥MN, E∈MN

Atunci ΔODN≅ΔAEN, atunci AE/OD=AN/ON=3/1, de aici și rezultă că

d(A,(MBC)=3·d(O,(MBC)).