Question

Nevoie de ajutor.
Ex nr 5.​

Answer 1

Răspuns:

i) Se face prin reducere la absurd. Presupunem ca $\sqrt 2\in \mathbb Q$, atunci putem scrie $\sqrt 2= \frac{m}{n}$, $m,n\in\mathbb N$ cu fractia $\frac{m}{n}$ ireductibila. Ridicand la patrat rezulta $2=\frac{m^2}{n^2}$, deci $m^2=2n^2$.

Rezulta ca m este par, adica $m=2m'$. Inlocuind, rezulta $(2m')^2=4m'^2=2n^2$, deci $n^2=2m'^2$, de unde rezulta ca n e par, adica n=2n'. Prin urmare $\frac{m}{n}=\frac{2m'}{2n'}=\frac{m'}{n'}$, contradictie cu ireductibilitatea fractiei $\frac{m}{n}$.

ii) La fel se arata ca $\sqrt[3]{4}$ este irational.

iii) Presupunem prin absurd ca $\sqrt 2-\sqrt 3\in\mathbb Q$. Atunci $(\sqrt 2 -\sqrt 3)^2=5-2\sqrt{6}\in\mathbb Q$, deci $\sqrt 6\in\mathbb Q$, dar de aici se obtine o contradictie la fel ca in cazul i)