Question

Notam a = sin i si b = cos i
Dintr-o identitate a lui Euler avem
b+ai=e^-1
Din identitatea fundamentala a trigonometriei obtinem
a^2+b^2=1
Facand calcule am ajuns la rezultate diferite fata de cele oferite de Google, nu cu mult, eroarea absoluta pentru fiecare fiind undeva pe la ~0.3 . Nu vad greseala, ma lamureste cineva?

Answer 1

Nu sunt sigur ce iti doresti, asa ca o sa fac urmatoarele lucruri
1) O sa demonstrez identitatea lui Euler
2) O sa iti demonstrez identitatea fundamentala a trigonometriei
3) O sa iti explic ce ai fi putut sa gresesti
Nivelul de matematica pe care trebuie sa-l cunosti pentru a putea intelege, este cel putin de liceu. Daca nu esti la liceu, iti va fi dificil sa intelegi conceptele din spatele identitatii. In special ce este i, numarul imaginar, sau ce este multimea numerelor complexe, sa intelegi de ce $i^{2}=-1$ este o conventie speciala Deci daca nu esti la liceu, treci direct la punctele 2 si 3.
1) Identitatea lui Euler este
$e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}$
Aceasta egalitate este demonstrata de obicei printr-o serie de aproximari Taylor in jurul unui punct cu o serie de derivate. Cum asta e de obicei dificil de inteles, exista o scurtatura, si anume luam in considerare functia
$f(t)=\frac{\cos{t}+i\sin{t}}{e^{it}}=e^{-it}*(\cos{t}+i\sin{t})$
Acum o derivam
$f^{\prime}(t)=e^{-it}*(-i)(\cos{t}+i\sin{t})+e^{-it}(-\sin{t}+i\cos{t})=-ie^{-it}\cos{t}-i^{2}e^{-it}\sin{t}-e^{-it}\sin{t}+ie^{-it}\cos{t}=\e^{-it}\sin{t}-\e^{-it}\sin{t}=0$ deci daca derivata functiei este 0, atunci functia este constanta, ceea ce inseamna ca f(0)=f(1)=..=f(t)
Dar avem
$f(0)=e^{0}(\cos{0}+i\sin{0})=1(1+0*i)=1$
Deci f(t)=1 in general, ceea ce inseamna ca 
$e^{-it}*(\cos{t}+i\sin{t})=1\Rightarrow e^{it}=\cos{t}+i\sin{t}$
Deci orice exponentiala de acea forma poate fi reprezentata in planul complex al numerelor cu o valoare trigonometrica
2) Orice numar complex z poate fi exprimat ca z=a+ib unde a este partea reala si b este partea imaginara. Stim ca modulul unui nr complex are formula
$|z|^{2}=a^{2}+b^{2}$ Deci in cazul reprezentarii cu identiatatea lui Euler
$z=e^{ix}$ atunci avem
$|z|^{2}=\cos^{x}+\sin^2{x}=1\Rightarrow |z|=1$ adica ceea ce pare sa spui tu in enunt
Egalitatea trigonometrica poate fi explicata prin mai multe moduri. Uite aici 2:
1) Teorema lui pitagora intr-un triunghi dreptunghic. Presupunem ca avem ipotenuza a, si catetele b si c, si avem unghiul B, unde cu a,b,c am notat laturile opuse unghiurilor respective.
 
Stim ca in general
$sin=\frac{cateta opusa}{ipotenuza}$
Adica pentru unghiul B
$\sin{B}=\frac{b}{a}$
$sin=\frac{cateta alaturata<span>}{ipotenuza}$
Adica 
$\cos{B}=\frac{c}{a}$
Iar teorema lui Pitagora spune ca
$b^{2}+c^{2}=a^{2}\Rightarrow (\frac{b}{a})^{2}+(\frac{c}{a})^{2}=1\Rightarrow \sin^{2}{B}+\cos^{2}{B}=1$ unde B este orice unghi intre 0 si 90 de grade si apoi din propretati trigonometrice, poate fi extins pe intre intervalul [0,360] de grade
O a doua metoda cu calcule trigonometrice invatate in liceu
$\cos{(a-b)}=\cos{a}\cos{b}+\sin{x}\sim{b}$
$\sin^{2}{x}+\cos^{2}{x}=\sin{x}\sin{x}+\cos{x}\cos{x}=\cos{(x-x)}=\cos{0}=1$
3) S-ar putea sa iti dea gresit pentru ca ai folosit un calculator de mana care are ca argument radiani, nu unghiuri. Daca intr-un calculator normal pui cos(60) nu iti va calcula cosinus de 60 de grade, ci va calcula cos de 60 de radiani. Metoda de conversie este: pi=3.14 radiani=180 de grade, deci pentru a afla cos(60) grade, stim ca 60=180/3 adica 3.14/3 atunci ai avea: $\cos{\frac{3.14}{3}}=\cos{1.05}$ si aceea cam iti da valoarea lui 60 de grade