Question

notăm cu 2 N mulţimea nr naturale pare şi cu 2N+1 mulţimea numerelor naturale impare .Arătaţi că 2N şi 2N+1 formează o partiţie a lui N

Answer 1

2N∩(2N+1)=∅ (0) pt ca nu exista numarcare sav fie si par si impar in acelasi timp, adica as dea rest 0 sau 1 la im,partirea la 2, pt ca 0≠1

2N∪(2N+1)=N

demonstratie ...cam lunga si cam teoria chibritului, dar uneori asta e rigoarea matematica

fie n∈N  si fie r, restul impartirii lui n la 2 acesta este 0 , caz in care n∈2N, sau =1 si atunci n∈2N+1

deci orice numar din N apartine si lui 2N∪(2N+1)

aasadar N⊂(2 N∪(2N+1))  (1)

invers fie n ∈(2 N∪(2N+1))

dac n∈2N atunci este de forma 2k, unde k∈N , deci n∈N

dac n∈(2N+1), atunci estede forma 2k+1, inde k∈N, deci n∈N

atunci (2 N∪(2N+1))⊂N  (2)

din (1) si(2)⇒2N∪(2N+1)=N (3)

din (0) si (3) rezulta  ca 2N si 2N+1 sunt o partitie a lui N (reuniune de multimi disjuncte care ne dau multimea initiala)

uffff!