Question

Nu am terminat inductia. Am facut primul pas, n=1, n=2, P(n) si p(n+1) dar nu stiu sa fac P(n)---->P(n+1)
Va roog, ajutati-ma
DAU COROANA!

Answer 1

$f(x) = ax+b\\ \\ f \circ f = a(ax+b)+b= a^2x+ab+b = a^2x + b(a+1)\\ \\ f \circ f \circ f = a^2(ax+b)+b(a+1) = a^2x+a^2b+b(a+1) = \\ \\ = a^3x + b(a^2+a+1) \\ \\ \Rightarrow \underset{de~ n ~ ori}{\underbrace{f \circ f\circ f\circ...\circ f}}= a^nx+b(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a^2+a^1+a^0) \\ \\ \text{Demonstram prin inductie: }\\ \\ P(1) = a^1x+b\cdot (a^0) = ax+b\cdot 1 = ax+b\quad (A)\\ \\ P(2) = a^2 x+b(a^1+a^0) = a^2x+b(a+1)\quad (A)\\ \\ P(n) = a^nx+b(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a^2+a^1+a^0)$

$P(n+1) = a^{n+1} x+b(a^{(n+1)-1}+a^{(n+1)-2}+...+a^{2}+a^1+a^0) = \\ ~~~~~~~~~~~~~= \boxed{a^{n+1} x+b(a^{n}+a^{n-1}+...+a^{2}+a^1+a^0)}\\ \\ P(n+1) = f\circ \underset{de~ n ~ori}{\underbrace{(f\circ f\circ ... \circ f)}} = \\ \\ = f\Big(P(n)\Big) = f\Big(a^nx+b(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a^2+a^1+a^0)\Big) = \\ \\ = a\cdot \Big(a^nx+b(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a^2+a^1+a^0)\Big)+b = \\ \\ = a\cdot a^n x+ab(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a^2+a^1+a^0)+b =$

$= a^{n+1}x+b(a\cdot a^{n-1}+a\cdot a^{n-2}+...+a\cdot a^2+a\cdot a^1+a\cdot a^0)+b = \\ \\ = a^{n+1}x+b(a^{n}+a^{n-1}+...+a^3+a^2+a^1)+b = \\ \\ = a^{n+1}x+b(a^n+a^{n-1}+...+a^3+a^2+a^1+1) = \\ \\ = \boxed{a^{n+1}x+b(a^n+a^{n-1}+...+a^2 +a^1+a^0)}~~~q.e.d.$