Question

Numărul de valori ale parametrului real a apartine [0,1] pentru care funcţia f:[0,1]->R, f(x) = x^2 - |x-a| , este convexă pe [0,1] este: A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 E. infinit

Problema este numarul 373 din UTC 2019

Answer 1

Răspuns:

C. 2

Explicație pas cu pas:

$f(x) = x^2-|x-a| \\ \\ f'(x)=2x-\dfrac{|x-a|}{x-a}$

$\begin{aligned}f''(x)&= 2-\left[|x-a|\cdot \left(\dfrac{1}{x-a}\right)'+|x-a|'\cdot \dfrac{1}{x-a}\right) \\ &=2-\left(-\dfrac{|x-a|}{(x-a)^2}+\dfrac{|x-a|}{(x-a)^2}\right)\\ &= 2\end{aligned}$

$f''(x) > 0,\,\,\,\forall x\in [0,1]\,\backslash\,\{a\}$

Deoarece f(x) e convexă pe [0, 1] \ {a} inseamnă că $a$ nu poate fi in intervalul (0, 1).

Luăm cazurile în care a = 0 și a = 1.

① Dacă a = 0, atunci f(x) e convexă pe (0, 1].

Verific dacă are sens in x = 0.

f(0) = 0 - |0 - 0| = 0, are sens.

⇒ pentru a = 0, f(x) e convexă pe [0, 1].

② Dacă a = 1, atunci f(x) e convexă pe [0, 1).

Verific dacă are sens in x = 1.

f(1) = 1 - |1 - 1| = 1, are sens.

⇒ pentru a = 1, f(x) e convexă pe [0, 1].

Deci, a ∈ {0, 1} ⇒ are două valori.