Question

Numarul maxim de plane distincte
determinat de 10 puncte este? Vreau sa imi rezolvati problema cu cateva explicatii

Answer 1

puncte A₁  , A₂ ,A₃ ,A₄ ,A₅ ,A₆ .A₇ .A₈ ,A₉ , A₁₀ 
plan =  3 puncte distincte 
punctele         A₁  si A₂  , cu cele  8 puncte formeaza        ; 8 plane 
             A₁A₂A₃ ; A₁A₂A₄ ; ..............A₁A₂A₁₀
punctele  A₁A₃           cu cele 7 puncte formeaza                7 plane 
                   fara   A₂
punctele A₁A₄ , fara A₂  si  A₃                                             6 plane 
punctele A₁A₅  , fara  A₂,A₃ ,A₄                                           5 plane 
punctele  A₁A₆ , fara  A₂ , A₃ ,A₄ ,A₅                                   4 plane 
punctele A₁A₇ , fara  A₂ , A₃ ,A₄ ,A₅ ,A₆                                3 plane
punctele A₁A₈   fara  A₂ , A₃ ,A₄ ,A₅ , A₆ , A₇                         2 plane 
punctele A₁A₉A₁₀                                                                 1 plan 
⇒                                                                           36 plane  
fara A₁  , celelalte  9  puncte formeaza                    28 plane 
fara A₁ , A₂ celelalte 8 puncte formeaza                     21 plane 
fara A₁ ,A₂ , A₃          7                                                15 plane
 fara A₁ ,A₂,A₃ ,A₄      6                                            10 plane 
fara  A₁ ,A₂ ,A₃,A₄ ,A₅         5 puncte                       6 plane
  fara A₁ ,A₂ , A₃ ,A₄ ,A₅,A₆       4 puncte                      3 plane 
  fara A₁ ,  A₂ , A₃ ,A₄ ,A₅ ,A₆ ,A₇     3 puncte               1 plan
total = 120 plane

Answer 2

$Se~stie~ca~oricare~trei~puncte~sunt~coplanare. \\ \\ Pentru~ca~numarul~de~plane~determinate~de~cele~10~puncte~sa~fie~ \\ \\ maxim,~punctele~trebuie~sa~fie~PATRU~CATE~PATRU \\ \\ NECOPLANARE.\\ \\ In~aceste~conditii~raspunsul~cerut~de~problema~este~C^3_{10}= \frac{10!}{3! \cdot 7!}=120. \\ \\ C^3_{10}=combinatii~de~cate~10~luate~cate~3. \\ \\ n!=1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n,~iar~0!=1.$

$Stiu~ca~aceste~"combinatii~de~cate~n,~luate~cate~k"~depaseste~ \\ \\ nivelul~(chiar~si~pentru~mine),~asa~ca~o~sa~prezint~o~metoda~de \\ \\ a~calcula~"combinatiile~de~cate~10~luate~cate~3". \\ \\ O~astfel~de~combinare~este~de~tipul~(A_i,A_j,A_k),~unde~ \\ \\ i,j,k \in \{1,2,...,10\},~punctele~considerate~fiind~A_1,A_2,...,A_{10}. \\ \\ (Evident~i \neq j ,~ j \neq k ~si~ k \neq i).$

$i~poate~lua~10~valori \\ \\ k~poate~lua~9~valori~(k \neq i) \\ \\ j~poate~lua~8~valori~( j \neq k~si~ j \neq i)\\ \\ Deci~exista~10 \cdot 9 \cdot 8=720~astfel~de~perechi,~DAR~astfel~fiecare \\ \\ triplet~a~fost~numarat~de~6~ori \Rightarrow exista~720:6=120~triplete~ \\ \\ distincte,~deci~si~120~de~plane~distincte.$