Question

.Numărul natural A este divizibil cu 11 şi se poate scrie sub forma A=mx(ori) p. Dacă m are exact 3 divizori iar
p are
exact 6 divizori, suma cifrelor celui mai mic număr A este:
A. 14
C. 23
B. 18
D. 20​

Help.....dau 25 puncte​

Answer 1

notez d(a)=numarul de divizori ai numarului intreg a.

avem ca d(m)=3 iar d(p)=6, iar A=mp.

fie m=m₁ᵃ₁m₂ᵃ₂...mₙᵃⁿ, atunci cum d(m)=1 ⇒ (a₁+1)(a₂+1)...(aₙ+1)=3, si cum 3 se poate scrie sub formele 1·3 sau 3·1 rezulta ca (a₁+1)(a₂+1)=3, unde m₁,m₂,...,mₙ∈N, iar a₁,a₂,...,aₙ∈N.

deci, (a₁+1)(a₂+1)=3 ⇒ (a₁,a₂)∈{(0,2),(2,0)}, deci m poate fi de forma x²,x∈N-{1}.

fie p=p₁ᵇ₁p₂ᵇ₂...pₙᵇⁿ, atunci cum d(p)=6 ⇒ (b₁+1)(b₂+1)...(bₙ+1)=6, si cum 6 se poate scrie sub formele 6·1,1·6,2·3 sau 3·2 rezulta ca (b₁+1)(b₂+1)=6, unde

p₁,p₂,...,pₙ∈N, iar b₁,b₂,...,bₙ∈N.

deci, (b₁+1)(b₂+1)=6 ⇒ (b₁,b₂)∈{(5,0),(0,5),(1,2),(2,1), deci p poate fi de formele

y⁵ sau y²z, y,z∈N-{1}.

pentru ca 11 este un numar prim, rezulta ca x,y sau z trebuie sa fie 1.

daca p=y⁵ ⇒ A=x²y⁵, de unde din cauza minimalitatii ar rezulta ca x=11 iar y=2, de unde A=3872.

daca p=y²z ⇒ A=(xy)²z, de unde din cauza minimalitatii ar rezulta ca z=11 iar x sau y sa fie 2 sau 3, de unde A=396.

deci numarul care respecta conditia din enunt este A=396, iar suma cifrelor este 18.